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Matematica. — Sur les surfaces doni toutes les courbes de 

 Darboux soni planes. Nota di Eduard Cech, presentata dal Cor- 

 rispondente Guido Fubini. 



Les coordonnées tangentielles homogènes s H d'une surface quelconque, 

 rapportée aux lignes asymptotiques, satisfont, si Fon choisifc convenablement 

 le facteur de proportionnalité, aux équations (*) 



(1) 2 UU = 2bz v -j- cz , z m — 2a'z u -f- di . 

 L'expression 



P = [— 1 2 a 2 bt* + ( a' e b — a' b v ) % -f a' u b — a'b u ~] & — 6 a'b (s u — **,), 

 où a'z*-\-b = 0, représente ( 2 ) le pian osculateur d'une ligne de Darboux 

 (à osculation quadrique) de la surface. On déduit, en faisant usage des con- 

 ditions d'intégrabilité du système (1), l'identité 



= \ [ 6 è l0 * 7 -{l i °4)'- 36 { a ° + T i "-' i )]' , + 



+ - ; - 6 £ ^ T + {Z * j)' + 36 (*■ + 7 « - ») j- 



Pour les surfaces en question, le second membro s'évanouit identiquement 

 en t. On peut donc faire ( 3 ), dans ce cas, 



a == b — <p , c = 2<jp„ , = 2<p M , 

 ainsi que les équations (1) sont 



(2) s UÌI — 2(g>z v + <p v z) , == 2 -}- y„z) , 

 où ff satisfait les conditions d'intégrabilité 



(3) <fi<H = 2<P<f* , SPm = 29)5p m . 



Je vais montrer qu'on peut intégrer (2), mais, pour brièveté, j'écarte 

 les cas aisés où g> est fonction d'une seule des quantités 



(4) xi = s u u -j- e 1 v (e = e 3 ,«' = 0,1,2). 

 (*) Les indices u , v signifient partout les dérivées partielles. 



( 2 ) En ce sens que les coordonnées de ce pian s'obtiennent en remplacant z par les 

 coordonnées du pian tangent de la surface. 



(3) Si Fon a — — (— \ — (surfaces isothermo-asymptotiques de M. Fubini), on 

 w duìo \ b } 



peut fairc a' = b par un cliangement des paramètres u , v . 



