Tout d'abord remàrquous que 



(5) A*ì) = * , >«-H 8ì sp* + $ ,s 



est, en vertu de (3), une fonction de Xi seul et satisfait à l'équation 



(6) f'"(x i ) = *f{x i )f'{x i ). 



Ceci étant. on peut, dans le cas actuel, représenter le pian osculatela - d'une 

 ligne de Darboux par l'expression 



(7) Qi = * 2 ^„ — 2g>s, 

 qui vérifie, d'après (2), l'équation differenti elle 



Gràce à (6), on remoute de l'équation (8) à la suivante 



Q, . C fiooi) dxi C dxj 



« , b , Co , Ci , ci étant des constantes. dont les deux premières ne dépendent 

 pas de l'indice i , car on trouve 



(10) a = {<p uv — 4y 3 ) z — g> v z u — <p u z v -f- . 



(11) & = g>(20> M y v — 3^,,,-f 4y 4 u-f-(g> S! 9> u — )*„ + 



+ (9> 2 <Pu — SP?) *« + (1 9P«* — 9> 3 ) • 



Pour trouver la relation qui passe nécessairement entre les constantes 

 a , b , Ci , on comtuence par eliminer s des équations (7), (10), (11), ce qui 

 donne 



(12) ©o Qo + ©, Q, + 02 Q* = 3y (<p m — 2$p 3 ) a - 6g>« è , 

 où j'ai posé 



0,- == 2y (f u <p x — i<pl B + «' 9> (y« — 2y (pi) -f £ ?i y> (y,, 9> MU — 2y jp5) . 

 Or l'identité 



f'{ Xi ) = g> m -j- 2e i gxp u -f 2f s >^ 

 donne par multiplication 



(13) 0i /" (set) = 6<jp' y M g> fl — 1 g> 3 U( , — 4g> 3 {(fi + y 3 ) = , 



où ne contient plus l'indice ». Si l'on introduit encore les valeurs des Q é 

 tirés de l'équation (9), l'identité (12) donne 



r^- Cf( xj) Axì _ 3y(2y 3 — y w ) ~| 



LàJcr'w J fl_h 



Les deux constantes a et b étant manifestement indépendentes, les deux 

 quantités entre crochets sont des constantes et l'on a simplement, en dispo- 



