sant convenablement des limites inf'érieures des intégrales, 



V f f{zi) dxj _ 3( p (2y 3 — cp uv ) * r dxi 6y* 

 éoJ [/'(*<)]* © * àJ [/".(**)]" © ' 



(15) fo+Ci + «8 = 0. 



L'identité 



Qo + Qi + Q* = — 6 9>* 



donne maintenant les solutions du s} 7 stèrae (2). Mais c'est l'interprétation 

 géométtique du procede employé qui donne des résultats intéressants. Tout 

 d'abord, l'équation (8) étant du troisième ordre seulement, les plans des 

 lignes de Darboux de chaque famille enveloppent un còne ( 1 ). On voit aussi 

 que ces trois cònes sont homographiques, si nous faisons correspondre les 

 plans tangents appartenant a une mème valeur du paramètre qui est, respecti- 

 veraent, x , Xi , x 2 . D'autre part, si Fon pose la relation trilinéaire 



les trois c6nes engendrent, par les intersections des plans tangents, la sur- 

 face cherchée. Passons au fait que a et b ne dépendent pas de i. Ceci 

 donne, en premier iieu, que les soramets des trois cónes sont situés en ligne 

 droite, tout les plans contenant celle-ci étant de plus unis dans les homo- 

 graphies qui ont lieu entre les cónes. Ces homographies sont donc des sim- 

 ples perspectivités, et les plans de perspectivité forment d'ailleurs nécessai- 

 rement uq faisceau. Enfìn, d'après (15), entre les sommets des cònes et ces 

 plans passe la bien connue relation d'une forme cubique binaire et son co- 

 variant cubique ( 2 ). 



Essentiellement, trois cas sont possibles 



— SP = £ + f X x -(- £ x t , 



(cas general), ou 



— (p = cotg x -f- c °tg x i + c °tg Xì , — 9> — — + ~ + — • 



OC q 3C i (E 2 



Dans le cas général, on voit que Fon a 



f{Xi) = 3p Xì , y^P^o+P^i tP^< 



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© = — y p'%0 p'aJi p'x t , <p{2g> 3 — g> ur ) = px px x + px px 2 + pz, px 2 -f- 1 g, . 



On peut donc, dans les équations (14), choisir zèro comme limite infé- 

 rieure des intégrales. 



(*) Si cp est fonction de X{ seul, les plans des courbes de Darboux Xì = constante 

 forment un faisceau. Ces courbes sont des simples coniques et les courbes conjuguées 

 sont planes. 



( 2 ) Ces plans coupent la surface en courbe de Segre particulières 

 x o — #i = , — %2 — » #2 — # = 0. 



