•ed è evidente che integrata la (2), la (3) si riduce immediatamente alle 

 quadrature. Osserveremo poi che la (2) ammette un moltiplicatore Jaco- 

 biano uguale all'unità; basterebbe quindi conoscere un integrale primo 



.F^r , t , ^0 = cost. od un secondo moltiplicatore per avere la soluzione 



generale del problema. 



3. Ciò posto dimostreremo il seguente 



Teorema. — caso \_k , n\ è coniugalo al caso \_k , — (k -f- n -f- 3)] 



nel senso cioè che integrato uno qualsiasi di essi risulta immediatamente 

 integrato anche l'altro. 



1 



Dimostrazione. — Posto l — - abbiamo 



X 



(4) ^ = Ì!^4 + 2 ^ 



dt 2 dx 2 ' 1 " % dx 

 e quindi la (2) diviene 



(5) x ^ + 2 ~- = 4t - r" *- ( " +3 ' . 



v dx dx rH 3 



d 2 (rx) 



Ma il primo membro della (5) è identicamente uguale a ; po- 



nendo dunque r% = R avremo : 



•<«) f-f-»**"' 



Se invece si operasse sulla (2) con la sostituzione i x = ed R, = 

 — «rr, essendo a una costante arbitraria, essa diverrebbe 



1 ' dt\ R? a *+»»+s 



Ora è evidente che se immaginiamo integrata la (2) e trovato r = f(t), 

 risulterà dai calcoli fatti 



e quindi anche la (6) si potrà considerare come è integrata. Viceversa riso- 

 luta la (6) e trovato R = <j>(i), il passaggio inverso ci darà r in funzione 

 di t. Ma interpretando R come raggio vettore e x come un tempo, la (6) 

 è l'equazione del problema nel caso , — (k -f n -J- 3)] , dunque ecc. 



4. Corollari. I caso d'integrabilità. — La (6) si riduce evidentemente 

 alle quadrature, quando in essa non comparisce esplicitamente x ; ne conclu- 

 diamo dunque che il problema è risolubile per 



(8) k + n + 3 = . 



