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 Eseguendo i calcoli troviamo 



(9 ) r = R* (IO) 7 - |/1 + k f- Ra!R + C, 



^ J J/C.R 2 — 2R*- 3 — (A+l) ~ 



dove C, e C 2 sono costanti arbitrarie. Eliminando R tra la (9) e la (10)> 

 si ha la soluzione cercata r = f(t). 



Questo semplice risultato, non ancora messo in luce da altri, racchiude 

 come caso particolare il 1° teorema del Mestschersky (legge Newtoniana ed 



M(£) = ~r~^ J che ha luogo per k = — 2 ed » = — 1. 



5. Casi coniugati coincidenti. II caso d'integrabilità. — Come mostra 

 il teorema ora dato, i casi [k , if\ sono coniugati due a due dal punto di 

 vista della loro integrabilità ; ed è facile anzi di vedere che questo legame 

 è involutorio. Infatti partendo, per esempio, dal caso finale C 2 cioè 

 — (A-f-w + 3)] ed operando come si è fatto si ritrova come coniu- 

 gato il caso iniziale Ci cioè 



In generale i due coniugati C t e C 2 sono distinti tra loro tranne se si 

 abbia n = — (k -f- " + 3) , cioè 



(11) k + 2n + 3 = 0. 



Anche in questo caso il problema è integrabile e noi possiamo vederlo 

 nel modo più semplice osservando che nella ipotesi (11) l'equazione (2) di- 

 viene omogenea se si suppone che r sia di grado - rispetto a t . È questo, 



Li 



in sostanza, il metodo seguito dal Lovett il quale nella sua Nota, indipen- 

 dentemente dalla teoria ora svolta, pone t= e ìX ed r = e x z e mostra che 

 la (2) si riconduce alle quadrature se la (11) è verificata. 



Dal nostro punto di vista si può però anche osservare che nella ipotesi 

 (11) la (2) coincide con la (6 bis ) , cioè resta invariata per una sostituzione 



della forma %\ = — r- ed R 1 = arT 1 qualunque sia la costante a. Ciò ap- 

 wt 



punto rende ragione della facile integrabilità della (2) nel caso (11) e dà 

 un notevole significato analitico al teorema del Lovett. 



Potremo anzi valerci di tale osservazione per trovare una elegante pro- 

 prietà dell'integrale. 



Supponiamo a tale scopo che r — ip(t) sia una soluzione della (2) ; i. 



passaggi fatti ci mostrano allora che R, = a % v J saià soluzione della. 



