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Si consideri il moto (relativo) di due corpi soggetti a mutue azioni 

 attrattive o repulsive, quale rimane definito (colle solite notazioni) dal si- 

 stema differenziale 



con g> si rappresenta una funzione, del resto arbitraria, in cui, per sempli- 

 cità di scrittura, si è conglobato il quadrato della costante delle aree. Le 

 unità si sono scelte in guisa da rendere eguale ad 1 la costante gravita- 

 zionale: volendo, si potrebbe supporre —1 anche la costante delle aree c. 



Il sistema (1) è integrabile per quadrature in quanto, nella seconda 

 equazione, si possono separare le variabili mediante la sostituzione 



(2) r = e x z , t = e 2X , 



e designando al solito la base dei logaritmi naturali. 



Infatti, ove si derivi r rapporto a / , prima una e poi una seconda 

 volta, tenendo conto che g va risguardata come funzione di X , si ottiene 



lì T 



(3) |= + 



d 2 r 1 



(4) - = r - a( ,-_ 2) , 



in cui z e z" rappresentano le derivate prima e seconda di z rispetto a X . 



d 2 r 



Sostituendo, nella seconda delle (1), a — il suo valore (4), abbiamo, ba- 

 dando alla seconda delle (2) , 



(5) z" = z — A<p(z 2 ) z- 3 . 



Questa equazione di secondo ordine in z è di forma integrabile, e una 

 prima integrazione porge 



(6) z' 2 = z- — 8 fg>(s 8 ) z~ 3 dz + h, 



dove h è una costante additiva arbitraria, proveniente dall'integrazione. 



Per fare qualche applicazione della (6) a casi particolari, giova tra- 

 sformare alquanto il secondo membro, eseguendo nell'integrale una integra- 

 zione per parti. Si può così attribuire alla (6) la forma 



(7) 



z'* = z* + A<p{z*) r* — 8 JV(* 8 ) z' 1 ds +h, 



