Fisica matematica. — Capacità del condensatore a piatti 

 infinitamente sottile. Nota di Rocco Serini, presentata dal Socio 

 T. Levi-Civita. 



In due Note (') ho ridotto il problema della distribuzione elettrica 

 sopra il condensatore a piatti circolari alla risoluzione di due equazioni in- 

 tegrali. Ma i miei sforzi per dedurre nel caso generale l'elemento veramente 

 importante, la capacità, non ebbero finora successo. Invece se si considera 

 un condensatore co te sottile rispetto al raggio dei piatti, è possibile dedurre, 



come mostro in questa Nota, che la capacità è data dalla formula A -j- — 



dove A e B sono costanti e / la distanza dei due piatti : e precisamente è 



A = (a raggio dei piatti) e B dovrà dedursi sperimentalmente. 



1. Richiamo di risultati precedenti. — Dette g>, , g> 2 le due funzioni 

 potenziali che sui piatti prendono rispettivamente valori (-)- 1 , — 1) (-f- 1 , 

 -{- 1) esse si possono mettere sotto la forma 



(1) 



0>i — (e*^' 2 ^ S — j I (rs) ipi(s) ds, 



<p 2 = ^L< i -Ì) S - e ^( z+ Ì)' ) j l (rs)ip 2 (s)ds, 



e nel caso del condensatore co te sottile si ha [2 a Nota (17) (18)]. 



2 sen a s , v 2 sen a s 



(2) ^(8) = - — — , f t (ti) = 



ti s(l — e- ls ) ' r n s(l +e~ l °) ' 



Ciò posto è facile dedurre l'espressione delle quantità di elettricità che 

 si hanno sui due piatti. Siano queste e u , e ì2 , e 2l , e 22 il primo indice rife- 

 rendosi alle g>i , (fi il secondo ai due piatti superiore ed inferiore. 



Basta tener conto dei risultati del Beltrami ( 2 ) e si avrà coi dati (1) (2) 



la f°° lP/ , sen a s , 

 e u = - eiì = - n j o l ( a s) s(ì _ e _ ls yds, 



2a f",. . senas , 

 e 2i = e 22 = - - j o ì (as) ^ + e _ ls) ds . 



( 1 ) Teoria del condensatore elettrico a piatti circolari. R. Acc. Lincei, luglio-ot- 

 tobre 1920. 



( 2 j Sulla teoria, delle funzioni potenziali simmetriche. Par. 2, Acc. Bologna, 1881, 

 oppure Opere, T. IH. 



