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Facendo le sostituzioni as = x . — = h e ricordando die V (x) = — I v (a;) 



a 



(Ii(a?) funzione di Bessel di l a specie e d'ordine uaoi si ha in definitiva 



(3) 



2a f°° T sen x , 



eil== -e lt = -J a l^) x(l __ hx) dx, 



2a f 00 , , sen x 



xi\ + e~ hx ) 



1. Riduzione ad una equazione funzionale. — Gli integrali che com- 

 paiono nelle (3) non si sanno calcolare. Osserviamo però che 



4a C 00 , v s en x ? 

 + e " = 7r J. ll,a ^(l_ e — 



e mettendo quindi in evidenza che le e sono funzioni sulla sola h , 

 (4) e 11 (h).+ e 2i (h) = 2 e n (2ft) . 



Se per e 81 (A) che è funzione regolare per A=0 sostituiamo, essendo 



h==.— infinitesimo, il primo termine del suo sviluppo, avremo 



a 



,r,\ a C" 1/ \ sen ce . a 

 5) e sl (h) = e 21 (0) = — 1, a?) «fa = — , 



perchè 1' f vale 1 ('). L'equazione funzionale (4) diventa 



(4') + — = 2e„'(2*). 



Si può dimostrare che questa ha per soluzione generale la soluzione 

 evidente 



(5') eu (A) = -r + T' 



dove B' è una costante. 



3. Capacità del condensatore. — Colle formole (5) (5') il problema 

 della capacità è completamente risolto, cioè sono determinati i coefficienti 

 nelle formole che legano potenziali e cariche. Se intendiamo come capacità, 

 in una accezione più ristretta, la carica che si ha sopra uno dei piatti a 

 potenziale 1 quando l'altro sia a potenziale zero, il calcolo può essere con- 

 dotto in modo breve cos'i. Ricordiamo che se </>, , <jp 2 sono i potenziali di 

 due conduttori con cariche C, , C 2 e q>\\<p[ u i potenziali degli stessi con 

 cariche Cf" , Ci 1 ' si ha 



<Pi Ci 1 ' + </> 2 C<» = gpi» C, + ri" C, ( 2 ) . 



( x ) V. p. Schaftlein, Bessellschen Functionsn, pag. 79. 



( 2 ) Vedi p. es. Kirchhoff, Vorlesungen ùber Electricitàt und Magnetismus, 7* Lez. N. 4. 



