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Cambiando n in (n-\-k — 1), la relazione (2) diviene 



(3 ) p, i+ »(0 — t P„ + *_,(*) + ~ P i!+S _ 2 ( t) h [- ^ P„(0 = , 



X — «o 



' 1 



a 



che è una relazione ricorrente di Poincaré (M, 



(4) QsO) P^O) + P^*-^) H h Qo(«) P«N = , 



Q,(a;) essendo funzioni che dipendono da a; e da n. 



La serie di Poincaré, Sa n Pn(#), nella quale i polinomi P n (.r) sono 

 legati dalle relazioni (4), ha il campo di convergenza limitato dalla curva ( 2 ) 



(5) = 



fi(x) essendo la radice di più grande modulo dell'equazione 



(6) F(A) = 1* + A*_, A*- 1 H h A = , A s = lim ^ . 



« — > oo "«lift 



Nel caso in cui i polinomi P n {x) sono legati dalle relazioni (2), l'equa- 

 zione (6) diviene 



(7) F(X) = aX h — (x — a,) A* -1 + «i -| 1- «*_, = . 



Facendo in questa equazione la sostituzione 



(8) ^ = ~-4-« -f-« 1 XH l-fc^X*- 1 , |X|<1, 



otteniamo 



<t>[X) = a A ft_1 — (a, X H \- X*- 1 ) A*~» — 



— (a, X H f- X fe - 2 ) A*- 3 X . 



Si può poi dimostrare (cfr. § II) che X = — è la radice di massima 



modulo dell'equazione (7) e che il campo di convergenza delle serie 

 2 a„ P» t (<£) , i polinomi P n (x) essendo legali dalle relazioni (2), è limitato 



dalle curve che si ottengono dai cerchi |X| = — <^.l mediante la tra- 

 sformazione 



# = -|--Ha e -f-« 1 X H h«*-i X ' i_1 , |X| = — = C — 



A (> 



(*) Poincaré, Sur les équations linéaires aux différentielles ordinaires et auoc diffé- 

 rences finies (American Journal of Mathematica, voi. VII); Picard, Traité d'Analyse, 

 t. Ili, pag. 419. 



( 2 ) Ibid.. 



