Esempi. — 1°. P n+1 = — P». La curva di convergenza è il cerchio 



a 



a; = ¥+«c, |X| = -, - = lim j/|fl„|, 

 a 9 9 



di raggio \a\g. Si ritrova dunque la regola di Cauchy-Hadamard per la 

 serie Taylor. 



2°. Pn+M) = tPJt) — — ?n-i(t) , t = X — . Le curve di conver- 

 a a 



genza sono ellissi omo-focali date dalla trasformazione 



a . • ._. 1 ' 



x = =: + a» + «i X , |X| = - = C — te < 1 . 



A (> 



Nel caso dei polinomi di Tchebicheff, 



P„(a;) = (x -f t/a; 2 — l) M + (a — fa» — 1)" = 2" af» + ... , 

 abbiamo P„ — 2a; P„_, -}- P (i _ 2 = . Osserviamo che in (2) P n (x) sono or- 



dinati secondo le potenze di = y — 2x , 



or 4 



2 P« Pn-l "I - g ^"-2 , 



dunque le curve di convergenza sono le ellissi 



coi fuochi — 1 , -{- 1 . 



II. Consideriamo il caso generale nel quale i polinomi V n (x) sono legati 

 dalle relazioni 



P n+1 (*) = t Pn(0 - ^ Pn-l(0 - .. - P,(<) + (n + 1) ^ , 



P = 1 , P! = — * ,t = "~" , lim y[^ì=l,Ìim = - < 1 . 



Facendo ^ = 1 ,2,3,..., risulta, dalle relazioni ottenute, che, x ap- 

 partenendo al campo di convergenza delle serie 2 a» P n (x) , la serie in Z 

 (Z abbastanza piccolo) 



(9) P,(i) + Z P t (x) + - + Z» P, i+1 (z) + - 



è il quoziente di due serie 



<»> i % il x z + iz - p. +zp, + - + w.», + ... ,»,*<>. 



