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Per identificazione, paragonando le relazioni trovate con quelle ottenute- 

 facendo in (!) n — 1 ,2,3, ... , troviamo 



Ci = — (x — «„) i Ct = 2a, . C 9 = 3a 2 . ... , c n+i = (n-\- 1 ) a, , 



è, = a , b 2 — - ( '• — a ) , è 3 = a , b„+i = «n-i , ■•• , 



sicché le serie 2 c„ Z" , 2 b n Z" lianno lo stesso cerchio di convergenza 



di raggio — 1 — = 1 . 

 lim y\cc„\ 



Se x è nel campo di convergenza della serie 2a„'P n (x), abbiamo 



limoni ■ ] |P„(ié)j< 1 , lim '\ \ ? n (x)\<CQ 

 La serie (9) è convergente se 



|Z|lim"r^J< ! .|Z|<=4=. 



lim ]/ 1 P„ | 



Se dunque si prende 



|zi<ì< 



Q lim ]/\? H (x)\ 

 avremo a fortiori 



1 



|Z|< 



lim]/|P n | 



e per conseguenza lo sviluppo (10) è valevole nello stesso tempo che lo svi- 

 luppo 2 a n P n (z) . 



Ne segue che, quando x è nella regione di convergenza della serie 

 2a„P„(x) e |Z]<[-, la relazione (10) si scrive 



a -j- (a — x) L + a! L l -\ \~ a„_, Z n -f- ••• 



mi Zg'(Z) + y(Z) — x_ _ , , , 



a + Z9»(Z) — Zr -^.)H » 

 y(Z) == «o + "i z H r «" Z " + - i ^ (Z) = ^ ' 



e <p(Z) è regolare nel cerchio di raggio 1 . Ponendo 



a 



z 



(12) « = | + sp(Z) 



abbiamo lo sviluppo 



