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Matematica. — Sulla equazione funzionale f{x+y)=f'(x) f{y)> 

 Nota II di Silvio Minetti, presentata dal Socio T. Levi-Oivita (').. 



IV. SOBORDINAZIONK DELLA CONTINUITÀ IN DN PUNTO GENERICO ALLA. 



continuità a destra dell'origine. — È ora tempo di osservare che se 

 noi riuscissimo a dimostrare la necessaria continuità destra della <p(x) nel 

 punto zero, ossia che è lim (fise) — 1 , allora, in causa delle eguaglianze 



»-»(+0) 



| y>(x -\-h) — (f{x) | = | y>{x) (p(h) — (f{x) | = <p(x) | (p(h) — 1 | 

 | <jp(x — h) — <f(x) | = | (p(x — li) — (p(x — h) <f{h) \ = tp(x — h) | 1 — g>(h) \ 



se ne potrebbe concludere la continuità destra e sinistra in tutto l'intervallo. 



V. Continuità per x — > (-j- 0) . — Ciò posto, proviamoci ad ammet- 

 tere che la <p(x) , per x tendente a (-f- 0) , non abbia il limite uno. 



Si dovrebbe in tal caso necessariamente trovare, a destra dello zero, 

 almeno un gruppo infinito di punti che ammette l'origine come punto limite, 

 e nel quale gruppo la <p(x) soddisfa alla 



(3) <f{x) = 1 + V? , dove | ìp | > a 



con «t sufficientemente piccolo ma da zero e determinabile a 'priori. 

 Scelto allora un r\ < — — ^ , si considerino gl'infiniti intervalli, aventi 



Li 



un estremo comune nell'origine e di ampiezze 



fj Tj tj 1} t] 



2^ ' 2 1 ' 2 2 ' 2 3 ' ' ' 2" ' "' 



e siano x , x, , x 2 , x z , ... x n , — punti del gruppo citato rispettivamente in- 

 terni agli intervalli suddetti e nei quali quindi è soddisfatta la (3) . 



In tale successione di punti distinguiamo quelli in cui la (p(x) è <" 

 dell'unità, da quelli in cui y>(x) è > dell'unità; i primi si indichino con 



(5) Xq , X\ , Xì , Xz i ••• , x n , ... 



(*) Presentata nella seduta del 19 giugno 1921. Ved. Nota I pubblicata in questi 

 Rendiconti, pag. 12. 



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