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ed i secondi con 



/f*\ ti ti ti ti . ti 



\p) OC , X\ , J\ , x 3 . ... , x n , ... 



notando che la somma di un numero qualunque di x' o x" è in ogni caso- 

 < di 217. 



Una almeno di queste due successioni consterà di infiniti elementi. 

 Se tale è la (5), in forza della (1), varranno contemporaneamente le 

 diseguaglianze : 



<p(2*]) = (p{x' ) g>m — x'o) <. (1 — ff)M 



<p{2 V ) = <f(4) <f(x[) y[2»? — (arò + a£)] < (1 — M 



<p{2r]) = <p{x[) y( x\) (f{x' s ) tf>[_2r t — (x' + x\ + < (1 — <r) 3 M , 



ecc., ad infinitum. 



Ne consegue che y(2»y) dovrebbe essere minore di ogni numero co- 

 munque piccolo; quindi 



g>(2i?) = 0, 



che a sua volta porta per conseguenza 



(f{x) = per < x <. (b — a) 



riportandoci al caso banale. 



Consideriamo ora il caso in cui la successione con infiniti elementi è la (6). 

 Allora, sempre in forza della (1) , sarà 



9(4') <p(x[') g>(x':) ... spK') -= g>(x' ' + x[' + x' 2 ' + ... + a£) = 

 = $p(£„) > (1 +°) n . 



ove 



0<l, <2t ? <(&-a) ) 



e quindi, per un n convenientemente grande, la g>(x) nel punto x = £ n supe- 

 rerebbe qualunque quantità prefissata, contro l'ipotesi 3) . 



VI. Conclusione. — Dunque la <p{x) per x tendente a (+ 0) , sotto 

 le poste ipotesi, ammette il limite uno ; è cioè necessariamente continua a 

 destra dell'origine. 



Ma, per quanto si è più sopra fatto osservare (vedi n. IV), ciò basta 

 per conchiudere che essa è continua a destra e a sinistra in ogni altro punto 

 dell'intervallo in cui è stata definita, e che quindi è della forma <? to . 



Segue, per la necessaria continuità anche della f(x) [data la posizione (2)] 



f{x) = e** . 



