Considérons, pour cela, la relation 

 (4, x K(x) + (a* + 1) K(x) — n P„(z) = . 



En la multipliant par C fì a™ et en faisant en suite la somme des re- 

 lations obtenues en donnant à n les raleurs 0,1,2,..., ad inf., on voit 

 facilement que tonte fonction de la forme (3) satisfait à l'éqnation aux 

 dérivées partielles 



(5) .r — -+(« + 1 «— - = 0. 



Ordonons la serie (3) suivant les puissances de x 



QO 



(6) Z{a , x) = y_ X n (p n (a) . 



)1=0 



Eutre les fonctions (p„(cc) on doit avoir la relation 



n 2 (pn(a) + («— 1) — a^_,(a) = , 



qu'on obtient en remplacant dans l'éqnation (5) s par la serie (6) . 



En prenant pour <p a (a) une fonction arbitraire g>(a) , cette relation nous 

 montre sans difficulté que l'on a 



5P«(«) = 7^jT- a 9> 0i) ( a ) - 



en désignant par g> ln) (a) la dérivée d'ordre # par rapport à a de <p(a) . Le 

 développement (6) deviendra donc 



CtX CC n CC^ 



(7) 2(« , a?) = 5p(«) + — $p'(«) + - + 7^ + - 



où <p(a) représente une sèrie entière en a . On a ainsi une expression de la 

 fonction generatrice des polynomes P„(x) , qui pour x = se réduit à une 

 serie entière en a. donnée à priori. 



En faisant dans (7) <p(a) = ^— — on retrouve la fonction generatrice (2). 

 Si l'on prend 



(f(a) = { t^—ì r J u 

 Rendiconti. 1922, Voi. XXXI, 1° Sam. 31 



