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f(u) étant une fonction arbitraire et a en dehors de l'intervalle (a ,b) , on 



trouve 



rb _■£. f( u ) 



(8) s(a,x)= c-^-^-du. 



J a u — a 



De méme, en snpposant <p{a) holomorphe à l'intérieur du contour C , 

 on a, par la formule de Cauchy, 



i r — <p(u) , 



(9) s(a , x) = — e"- a du , 



a étant à l'intérieur du contour C . 



Remar que. — Si l'on fa i t dans (7) <p(a) = a n , alors s(a , x) se réduit 

 à a" P n {x). Par suite, de (9), la représentation par intégrale 



r étant un contour ayant le point 1 à son intenerir. 

 2. Considérons l'intégrale 



(10) ?/= | ^> ' 



qui est analogue à l'intégrale de F. Nenmann pour les fonctions sphériques 

 de seconde espèce. Il est facile de voir que cette intégrale est aussi une 

 solution de l'équation différentielle (1). En effet, si nous rernplacons dans 

 l'intégrale (10) F n (u) par sa valeur tirée de la relation (4) , donc par 



1 Cdu VJu) , , 



r « 



n l au 



on obtient, après deux integration par parties , 



f° „ x — u{u — x — l) „ . . . 

 ny = e u - x p r- 3 ? n {u) du . 



(x — uy 



— GO 



De (10) , par différentiations, on a 

 dy f° u-x — \ 



di 



\ e«~* U . X , L P„( M )cfo, 



y_o= (x li) 



(LX* J-a (r — U) 3 



