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ài cui, gli elementi s^ 1 ' r * > — ,Tn) sono uguali a zero o z±zl:\a, sotto le 

 stesse condizioni come per gli elementi * ri r t ... r . 

 Dimostriamo la identità seguente : 



(I) > 

 i 



dove 



(3) 



-+- 1 ■ • ■ tn ^i ^"a • ■ ■ ?m ^m-f-i ■ • * 



ó r „ S r , 



» i 8 1 M * a 

 /j.S, r, s a 



1 m » ì 'tu 



e, al solito, 



(4) <J f<s> =-'0., se ri4=s, { , e <)',.,,. = ! , se n = . 



Se le r (o le s) non sono tutte differenti, allora, il primo membro 

 della (I) sarà zero, in base alla definizione del sistema E , e il secondo 

 membro della stessa equazione sarà zero, poiché J avrà due o più colonne 

 (o righe) uguali. Dunque, non si ha bisogno di considerare che il caso in 

 cui le r e le s sono tutte differenti. 



È comodo di usare le abbreviazioni 



(r) == (r, , r s , ... , r m ) , («)==(*,,*, s m ) , 



e si dice che (r) = (s) o (r) (s) secondo che r x , r 2 r m e s x , s 2 , ... s m 



sono due permutazioni o no della stessa serie di m numeri scelti dalla serie 

 degli n numeri 1 , 2 , ... , n . 



Nello sviluppo del primo membro della (I), si hanno n n ~ m termini della 

 forma 



(5) 



(>')"i "» 



-((S) ", . "2 



'—• ») = 1 , 2 ,....») : 



di questi, i termini nei quali le u non sono tutte differenti, sono zero, sicché 

 rimangono da considerare i termini nei quali le u sono tutte differenti. Di- 

 stinguiamo due casi : 



1° (r)^=(s). Ogni termine (5) ha almeno una r od una s uguale a 

 qualcuna delle u , di modo che, per definizione del sistema E , ogni termine 

 del primo membro della (I) è zero. Inoltre, almeno una r, per es. r,- , 

 non è uguale a nessuna s , sicché , nel secondo membro della (I), da (4) . 

 à' r . Sh = o (k = 1 , 2 , ... , m) , e quin li J = . 



2° (/•)=(«). I termini (5) nei quali qualche u è uguale a qualche r 

 (o s) sono zero : i termini nei quali tutti le u sono differenti da tutte le 

 r (o le s) sono in numero di U — m) ! , tali essendo tutte le permutazioni 

 possibili delle w. Ora. se la classe della permutazione (r 1 , r 2 , ... , r m ) e 



