quella di (s, , s 2 , ... , s m ) sono tutte e due pari o dispari rispetto alla per- 

 mutazione fondamentale (1 , 2 , ... , n) , ogni termine è uguale a -j- 1 , ma se 

 una classe è pari e l'altra è dispari, ogni termine è uguale a — 1 . Dunque, 

 il primo membro della (I) è uguale a dtr (w — m) ! . Inoltre, nel secondo 

 membro della (I), le r e le s sono aggruppate in tutte le coppie possibili, 

 e, poiché (r) e (s) sono due permutazioni della stessa serie di n numeri, ve 

 ne sono soltanto m coppie nelle quali i numeri della coppia sono uguali : 

 in questa serie di m coppie, ogni r ed ogni s si presentano soltanto una 

 volta, di modo che in J , tutte le ó sono zero salvo una in ogni riga ed 

 in ogni colonna, e queste <J sono uguali a 1 . Per conseguenza il solo ter- 

 mine nello sviluppo del determinante J che non è zero, consta del prodotto 

 di queste ó , e quindi J ha il valore -f- 1 o — 1 , secondo (da un teorema 

 elementare sui determinanti) le classi delle permutazioni (r, , r t , .., , r m ) e 

 (Si , Sì , ... , s m ) sono le stesse od opposte rispetto alla permutazione fonda- 

 mentale (1 , 2 , ... , m) . Dunque, il secondo membro della (I) ha il valore 

 =r= (n — m) ! come il primo membro, coincidendo anche i segni. 



Abbiamo così dimostrato la nostra identità (I) . 



Se m = o m = 1 , si hanno i casi particolari : 



(6) y . , «&,«„-.W = »!, 



(7) >\ , .e . , s ( s ..*2, ••■><»•) -.= («_ 1) ! ó r g 

 ~j— 1 2 , t 3 , . .. , i n f| , j 2 , ... , t n i i 



Diamo un'applicazione interessante dell'identità (I) stabilendo una re- 

 lazione fra i coefficienti della forma fondamentale g> e il sistema E . 

 Consideriamo il sistema covariante 



re 



bii ; = y £ ■£ 



a ('i«0 a (r 2 s 2 ) _ a (r„_ ] s„.,) _ 

 Moltiplicando i due membri per e sommando, rispetto a 7 , si ha 



If . «.) ... a (Jcj) e V 



\*I~ s i 1 s 2 , . . , %— 1 j s i 1 s 2 ' ••• 1 s »— 1 J / 



= V f . e (r,,r 2 ,...,rn_,fc) ; 



tenuto conto della (2) . Ove si applichi la (7) al secondo membro, risulta 



