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zione degl' invarianti, e che è merito speciale del Reye l'aver per primo 

 avviata coi suoi lavori. 



Un'altra serie notevole, più recente, di memorie è quella dedicata ai 

 sistemi lineari di forme proiettive. Indicando con a ih delle forme lineari nelle 

 coordinate di punto, l'equazione 2X t f.i H a i]t = rappresenta un piano : che de- 

 scrive un fascio, una stella, uno spazio, se, tenute ferme le fi , si fan va- 

 riare le 2, supposte in numero di 2. 3, 4; e questa forma geometrica varia 

 poi projettivamente a sè stessa, se si mutano le /a. Co?ì nasce il sistema 

 lineare di forme projettive; e si vede che, scambiando l'ufficio ai due gruppi 

 di parametri 2 e l u, nasce un sistema lineare coniugato al precedente. Si 

 può dire che primo F. Schur, in una bella memoria di geometria pura 

 del 1881. aveva messo in luce, in alcuni casi notevoli, sistemi sì fatti di 

 forme projettive: prendendo del resto le mosse dalla Geometrie oler Lar/e di 

 Reye. Ma questi ha poi trattato a fondo un grande numero di altri casi, deter- 

 minando e studiando le diverse figure geometriche che così si posson generare. 



Fra gli enti più interessanti della geometria moderna stanno le con- 

 gruenze di rette del 2° ordine, la cui determinazione è dovuta a Kummer. Per 

 quelle prive di linea singolare Reye ha scoperto due generazioni geometriche 

 semplici ed eleganti. L'ima è legata al complesso tetraedrale. Una congruenza 

 di 2° ordine e di 6 a classe della l a specie di Kummer, od anche di 2° or- 

 dine e di classe <^6, si può ottenere come composta delle rette in cui si 

 tagliano le coppie di piani tangenti omologhi di due quadriche riferite col- 

 linearmente. — L'altra generazione si connette alle trasformazioni quadratiche 

 multiple dello spazio, ripetutamente trattate dal Reye. Riferendo projettiva- 

 mente un sistema lineare oo 3 di quadriche di uuo spazio 2 al sistema dei piani 

 di uno spazio 2^ si ottiene una trasformazione puntuale, che ha in 2 una 

 superfìcie doppia (Jacobiana) del 4° ordine, e in 2 { una superfìcie limite, 

 o di diramazione, <f>, di 4 n classe e del 16° ordine. Ma l'ordine di <P si 

 abbassa di 2 unità ogni volta che il sistema triplo di quadriche acquisti 

 un punto base Alle rotte di 2 passanti per un tal punto corrispondono 

 in 2i le rette di una congruenza di 2 ;i classe e del 7° ordine, avente <J> per 

 superficie focale; oppure, se vi sono altri 1, 2, 3, 4, 5 punti base, le rette 

 di una congruenza di 2 a classe e del 6° ordine (della 2 a specie nella classifi- 

 cazione di Kummer), o di ordine 5, 4, 3. 2. 



Notevolissimo è il caso che il sistema di quadriche sia definito da 6 

 punti base scelti in modo generico. Si ha allora una trasformazione spaziale 

 doppia, che dà come superficie limite la superfìcie di Kummer del 4° ordino 

 e 4 a classe, e conduce nel modo più bello a tutte le proprietà dei 16 punti 

 e piani singolari di questa superficie, e alle 6 congruenze quadratiche di 

 cui essa è superficie focale. È questo uno dei più eleganti capitoli della 

 moderna geometria sintetica. Esso è tutto dovuto al Reye, che ben a ragione 

 lo ha poi introdotto nelle ultime edizioni del suo trattato. 



