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Metterò questo sistema sotto la forma : 



\ 



(x-u')' = (l*x* + 2) u ; 0<.ìc<1 



| u'(l) + (h + al)u(l)=Q : u(0) = : 1= k + m ' 



Se una sfera ancora di raggio R e della stessa sostanza della prece- 

 Pi tt* 



dente vibra in un fluido di densità o« , e poniamo a 1 = — - , le sue vi- 

 ri 



brazioni semplici saranno caratterizzate dal nuovo sistema : 

 / ( a * v y— (a\t* + 2) v 



{1U] I «'(l) + (/« + ai L)v(l) = 0: »(0) = 0; L = _^L_ • 



Le soluzioni (X , u) del sistema (II) corrispondano biunivocamente alle 

 soluzioni (A , v) del sistema (III) per modo che quando a x tende ad a la 

 soluzione (A , v) tenda alla (X , u) . 



Dai sistemi (II) e (III) discende facilmente : 



(v u — v'ii) x=ì = {X 2 — A 2 ) f x 2 uvdx . 

 Usando poscia delle condizioni ai limiti si deduce ancora : 



(1) (a, L — al) u{\) v(l) = (X 2 — A 1 ) Cx*uvdx. 



K 



Ammesso che A sia funzione derivabile di a, dalla (1), dividendo per 

 X i — A'- e passando al limite per a, = a , si ottiene: 



i+ 



dl~\ 

 a dX_\ = 



i 



x % u* dx 



6 



21 \_dX ' dXJ u(iy 



Da questa infine discende: 



dX lu(l) 2 



dX /o 



dX 



Usiamo della (2) per ricavare il valore di — per a = . Se « = 



da 



il sistema (II) diviene: 



, m j ix'-u')' = (Vx* + 2) », 0<x<l 



I + 7j «(1) = , « = 0, 



