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NOTE PRESENTATE DA SOCI 



Matematica. — Sulle superficie ì cui spazi osculatori sono 

 biosculatori. Nota della dott. Maria Castellani, presentata dal 

 Socio G. Castelnuovo. 



1. In vari modi è stato dimostrato che se i piaDi tangenti ad una su- 

 perfìcie hanno due punti distinti di contatto, ne hanno inriniti ( J ) e la su- 

 perficie è una sviluppabile. Orbene tale proprietà relativa agli intorni del 

 1° ordine non ha riscontro in proprietà analoga per gli intorni di ordine 

 superiore; mostrerò infatti in questa mia Nota che esistono classi di su- 

 perficie per le quali ogni spazio 2-osculatore, S(2) ( 2 ), ha due punti di- 

 stinti di osculazione, cioè è biosculatore, senza averne di conseguenza infiniti. 



2. Sia data una superficie F di' S r (r > 5) i cui S(2) osculatori siano, 

 come accade in generale, S 5 e ciascuno di essi abbia due punti di oscula- 

 zione distinti P e Q. 



Cominciamo con l'osservare che l' intersezione di due S 5 infinitamente 

 vicini, osculatori rispettivamente in P e P' (e quindi in Q e Q'), contiene 

 tanto il piano tangente in P, quanto quello tangente in Q. 



Se questi due piani sono indipendenti il loro S 5 è lo spazio 2-oscula- 

 tore sia in P che in P\ cioè lo S(2) non varia, passando da un punto di F 

 ad uno qualsiasi contenuto nell'intorno del 1° ordine di esso; questo S(2)=S 5 

 conterrebbe in tal caso tutta la F . il che è da escludere. 



Escludiamo pure che i piani tangenti in P e Q coincidano, perchè, per 

 quanto si è detto, la superfìcie è allora rigata sviluppabile e la soluzione 

 ha perciò scarso interesse. 



Rimangono quindi da esaminare i due casi seguenti: 



a) i piani tangenti in punti corrispondenti (come P e Q) stanno in S 4 ; 



b) oppure stanno in S 3 . 



( x ) Dal Pezzo, Sugli spazi tangenti (Rend. della K. Accademia di Napoli, 



1886); Bertini, Introduzione alla geometria proiettiva degli iperspazi, cap. 9°, n. 13, 

 Pisa, Spoerri, 1907. 



( 2 ) Per spazio 2-osculatore in un punto di una superficie intenderemo il minimo 

 spazio che contiene gli S 2 osculatori alle curve per il punto ; poiché tale spazio ha in 

 comune con la superficie l'intorno del 1° e del 2° ordine è espressivo il rappresen- 

 tarlo con il simbolo S(2); E. Bompiani, Sopra alcune estensioni dei teoremi di Meus- 

 nier e di Eulero (Atti R. Accademia d. Scienze di Torino, 1913). 



