— 348 — 



3. Dimostriamo che nel caso a) vi sono su F oo 1 curve lungo le quali 

 è fisso lo S 5 2-osculatore (cioè la F ha soltanto oo 1 di questi S 5 ). 



Lo spazio caratteristico di un S 5 (spazio comune ad S 5 e a tutti quelli 

 infinitamente vicini nell' intorno del 1° ordine) è un S 4 ( x ) : voglio provare 

 che si ha S(3) = S 6 . 



Consideriamo due regioni di F adiacenti a due punti P , Q e su di esse 



fissiamo le linee coordinate in modo che punti corrispondenti abbiano le 



y+s p 



stesse coordinate curvilinee u,v. Indichiamo con P rs le derivate — 



delle coordinate omogenee di P, omettendo l'indice relativo ad una coordi- 

 nata generica; analogamente per Q. Poiché i piani tangenti nei punti P e Q 

 determinano un S 4 , i punti P , Q , P 10 . P 01 , Q 10 , Q 01 sono linearmente dipen- 

 denti, quindi potremo prescindere da uno di essi, per esempio Q 01 . 



Lo S 5 2-osculatore in P potrà individuarsi con lo S 4 precedente e con 

 un punto dell'intorno del 2° ordine di P, cioè, essendo le linee u,v arbi- 

 trarie, per esempio con ì punti P , Q , P 10 , P 01 , Q 10 , Q 01 , P 20 . A questo S 5 , 

 per definizione di S(2) osculatore e per la proprietà di F, appartengono i 

 punti P 11 , P 02 , Q 10 , Q" , Q 02 dell' intorno del 2° ordine e valgono per con- 

 seguenza relazioni di questo tipo : 



P" = «P 1 » -f- jffP'O 4_ ypoi ^_ JQio _ p 5 p _{_ £Q 



in cui a, ... f sono funzioni di u , v indipendenti dalle coordinate di P o di Q 

 che si considerano. Oltre a queste relazioni valgono le loro conseguenze diffe- 

 renziali, sicché per esempio: 



P« = «P30 _|_ 



ove i puntini indicano termini contenenti derivate di P e di Q d'ordine ^.2( 2 ) 

 che per le relazioni stesse si possono sostituire con combinazioni lineari 

 dei 6 punti che abbiamo preso per individuare lo S(2) osculatore in P (e Q). 



Consideriamo ora lo S 5 2-osculatore in P' = P -j- P 10 du + P 0l dv e con- 

 giungiamolo allo S(2) osculatore in P. Lo S 6 congiungente è individuato 

 dallo S 5 osculatore in P e dal punto ( 3 ) : 



V 30 du + V 2l dv = P 30 (du + adv) + 



I 1 ) Si potrebbe concludere direttamente a questo punto con l'affermazione fatta, 

 servendosi del Lemma di Bompiani [E. Bompiani, Determinazione delle superficie inte- 

 grali d'un sistema di equazioni a derivate parziali lineari ed omogenee, Eend. Istituto 

 Lombardo, 1919, § 3]; la dimostrazione che segue sfrutta le particolari circostanze che 

 si presentano in questo caso indipendentemente dal Lemma citato. 



( 2 ) Coefficienti di queste derivate sono le funzioni « , ... £ e le derivate rapporto 



ad u • 



( 3 ) Si suppone, naturalmente, che P 30 non stia nello S(2) osculatore in P; la sup- 

 posizione è lecita, perchè le linee coordinate sono generiche e quindi, se ciò non acca- 

 desse, la superficie starebbe in S 6 • Si può poi facilmente verificare che anche gli altri 

 punti derivati secondi di P' stanno in quello S 6 . 



