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cioè da P 30 , potendo sempre ritenere, per l'arbitrarietà della scelta delle 

 linee u,v, dujdv^p — <*■ Lo S(3) osculatore in P (e Q) è dunque un S 6 . 

 Proviamo ora che gli S(2) = S 5 sono soltanto co 1 , cioè che nell'intorno 

 del 1° ordine di uno di essi ve ne è uno solo. 



Ciò è evidente, perchè gli S 5 nell'intorno di quello fissato passano per 

 lo S 4 caratteristico e stanno in S 6 quindi formerebbero fascio (cui appartiene 

 lo S 5 fissato) intorno allo S 4 ; ma nel fascio non v'è che un S 5 minutamente 

 vicino a quello fissato. 



Ogni S 5 è quindi 2-osculatore alla superficie in tutti i punti di una 

 curva e, se si esclude che la superficie stessa stia in S 5 , le co 1 curve così 

 determinate stanno negli S 3 di una sviluppabile.. 



4. Veniamo ora al caso b): i piani tangenti in P e Q determinano 

 un S 3 . 



La congruenza delle rette come PQ è quindi tale che tutte le rette 

 .di essa situate nell'intorno del 1° ordine di una generatrice generica stanno 

 con questa in un S 3 . Segue subito da ciò che su ogni generatrice della 

 congruenza si trovano due fuochi (distinti o coincidenti) ; cioè la congruenza 

 è di quelle (particolari in S 4 ) che ammettono superficie (o curve) focali. 



Nel caso generale, in cui si hanno due superficie focali distinte si ha 

 una congruenza di Laplace le sue rette sono dunque tangenti alle linee 

 di un sistema che fa parte di un doppio sistema coniugato (di una) delle 

 superfìcie focali. 



Se le superficie focali coincidono in una, questa possiede un sistema 

 semplice di asintotiche e le rette della congruenza sono tangenti ad esse. 



Possono infine le superficie focali della congruenza essere sostituite da 

 curve incontrate (senza contatto) dalle rette della congruenza. Diremo in 

 ogni caso, per brevità, che si ha una congruenza di Laplace. 



È facile constatare che una superficie incontrata in più di un punto 

 da una generatrice generica della congruenza è una superficie del tipo voluto. 



Infatti nel caso generale (e analogamente si verifica per gli altri) ogni 

 superficie F immersa, nella congruenza di Laplace ha per Si 2) oscula- 

 tore in un suo punto P che appartenga alla taugente in un punto A , se- 

 condo una linea del sistema coniugato di una superfìcie focale, lo S 5 con- 

 giungente i due S 4 2-osculatori a questa in A e nel punto infinitamente 

 vicino sulla tangente fissata. Questo S 5 non dipende da P, ma soltanto dalla 

 generatrice per esso: se questa incontra la F in un altro punto Q gli S(2) 

 osculatori in P e Q coincidono. 



(!) Segre, Preliminari di una teoria (Eend. del Circolo Matematico di Palermo, 



tomo XXX, 2° semestre, 1910); E. Bompiani, Sull'equazione di Laplace (Eend. del Cir- 

 colo Matematico di Palermo, tomo XXXIV, 2° semestre, 1912J; Puur la geometrie de 

 Véquation de Laplace (Comptes-Rendus de l'Acad. des Sciences, t. 160, pag. 57). 



Rendiconti. 1922, Voi. XXXI, 1° Sem. 45 



