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les espaces à v -)- 1 dimensiona contenant sont situées sur une quadrique 

 à n dimensions. 



3. On achève la détermination des facteurs de proportionalité ( x ) soit 

 en choisissant le facteur de la forme F 2 , soit le facteur des £, par exemple. 

 Ce dernier choix est d'ailleurs (à un facteur numérique des £ près) équi- 

 valent au choix de la congruence ^X, liée à la condition unique d'étre 

 conjuguée a n au sens expliqué plus haut. On peut appeler la droite #X 

 la normale de la métrique détinie par la forme F 2 ( 2 ). En general, par 

 chaque point de n passent 2 n — 1 géodésiques de cette métrique, dont les 

 plans osculateurs contiennent la normale. Les tangentes de ces géodésiques 

 forment la généralisation des trois tangentes de Segre du cas n = 2. Elles 

 sont d'ailleurs indépendantes du facteur de F 2 et peuveat étre défìnies comme 

 les directions ayant la mème polaire linéaire par rapport aux deux cónes 

 apolaires F 2 = et F 3 — . 



4. Supposons maintenant que les x , £ , toujours fonctions de n para- 

 raraètres iix ... u„ , satisfaisant aux conditions 



S£x = S£dx = 0, 



sont les coordonnées dans un espace linéaire à plus de n -j- 1 dimensions. 

 On a alors une variété d'élemertts à n dimensions. On peut, comme précé- 

 demment, former les formes P 2 , A 8 , F 3 . Mais ici, on ne peut plus, en 

 général, déterminer les facteurs de proportionnalité de manière d'avoir 

 F 3 = A 3 . Pour (u l ,....u u ) dounées, projetons les plans osculateurs des 

 courbes tracées sur la variété des points x , le centre de projection étant 



l'espace d'intersection de £ , , ... , — — . Si une corre^pondance entre deux 



~òUi ~òll n 



variétés d'éléments est telle que, pour chaque couple d'éléments correspon- 

 dantes, les deux ensembks d'espaces projetants que je vieus de definir sont 

 homographiques, on peut dire, en géuétalisant la locution de M. Pubini, 

 que les deux variétés d'éléments sont projectivernent applicables. Or la con- 

 dition analytique pour l'applicabilité projective des variétés d'éléments est 



P 



l'invariance de la forme différentielle fractionnaire =r > tout au moins quand 



cette expression a un sens, c'est-à-dire si V=4=0- 



5. Pour les détails, voir le Mémoire / fondamenti di geometria pro- 

 iettivo-di/ferensiale secondo il metodo del Fubini qui paraìtra dans les 

 Annali di Matematica. 



( x ) Je suppose toujours vérifìée la condition (8). 



(-) On voit quo si l'on preni pour £ les coordonnées cartc'siennes normales (les 

 ;osinus directeurs et la distance de l'origine), on a la normale ordinaire. 



