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Matematica. — Sulla curvatura geodetica delle linee appar- 

 tenenti ad una varietà qualunque. Nota di Joseph Lipka, presen- 

 tata dal Socio T. Levi-Civita. 



Il parallelismo di Levi-Civita annunziato la prima volta nel 1917 ( 1 ) 

 ha avuto molte applicazioni notevoli e ci ha condotto a risultati importanti. 

 Lo scopo di questa Nota è di mostrare come la curvatura geodetica in un 

 punto qualsiasi di una curva in una varietà qualunque può essere definita 

 intrinsecamente per mezzo della nozione di parallelismo; questa definizione 

 è un'estensione semplice di quella della curvatura ordinaria in uno spazio 

 euclideo. 



Consideriamo una curva y in una varietà qualunque, dove il qua- 

 drato dell' elemento lineare è dato da 



(1 ) ds' 2 = ^_ r[ a rt dx r dx s . 



i 



Sia s l'arco di y contato a partire da un'origine arbitraria. 



Siano P e Q due pwiti di y infinitamente vicini corrispondenti a s 

 e s~{-ds. In Q, costruiamo la tangente a y e la parallela {secondo Levi- 

 Civita) alla l'ingente in P . Se si designa con dw l'angolo di queste dire- 

 zioni, si definisce la curvatura geodetica di y in P, mediante la 



(2) 1 = lim £ . 



Ora, in una varietà euclidea, il parallelismo di Levi-Civita coincide 

 col parallelismo ordinario, sicché l'angolo da> si identifica col cosidetto an- 

 golo di contingenza, e per conseguenza la nostra definizione della curvatura 

 geodetica coincide con quella della curvatura ordinaria. 



La definizione usuale della curvatura geodetica in un punto P di una 

 curva in una varietà qualunque, data dal Bianchi ( 2 ), è la seguente : Sia g 

 la geodetica in I' nella direzione di y; sulle y e g si prendano uguali ele- 



( 1 ) Nozione di pirallelismo in una varietà qualunque, e conseguente specificazione 

 geometrica della curvatura Riemanniana [Rendic. del Circolo Matematico di Palermo, 

 tomo 42, 1917]. 



( 3 ) Geometria differenziale, 2 a edizione, voi. I, pag. 363. 



