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L'angolo dw di queste due direzioni è dato da 



(11) cos doì = y a r ,\x' r — a r ds — \ -~- ds* \ X 



V ' — rt rl \ 1 ds ) 



Per la prima identità (IO), la (11) diviene 



(12) cos da» = 1 + à rt (x'r — a r ds — i ds 2 ^ (fa ds + \~ ds*j . 

 Sottraendo le due identità (10) membro a membro, si ha 



(18) 2 I rl a„ (x' r - à, d> - ì ^ *') 



+ Zh « (/», f. + i & **j (a * + i f *") = , 



e sostituendo in (12), risulta 



( 1 4) cos dto=l— \ J rt d r [§ r ds + 1 ^ '/s 2 ) 6?t <fe + 1 h& <'s 2 ) • 



Coll'espressione di o, ( tornita dalla (4), e sviluppando, si ha subito 



(15) cos dw = 1 — | 2_rf "n Pr §t ''s 2 + (termini in ds 3 , ecc.). 

 Ma 



(16 ) cos da) = 1 — j (^/ft)) 2 -| . 



Perciò 



(<fo>)* + • • ■ = T rt a rl § r Pi <W + • • • . 



e quindi 



(17) ^-)=l rf « r{Mt . 



Finalmente, sostituendo i valori di £ r da (8), e scrivendo x, ■ = ~t~ , si ricava 



1 j o 2 ~~ — " flrt [_ ^s 2 — «'* ( H «/s «fa J L fa' — «'* ( f J ■ rff * 

 che coincide con l'espressione analitica (3) trovata dal Bianchi. 



