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di equazioni lineari 



(1) f <> fViA^= Cffids (i — 0,1, ...,»), 



si dimostra allora che : 



£a combinazione lineare F n (s) = a ( a n) f 9 {s) -f- «i n) /"i(s) + (- ai," 1 /»(«) r 



a£ divergere di n , converge in media, su (0 . I) , yerso /a funzione f(s) - 



3. Completezza dei polinomi! armonici sopra una qualunque curva 

 regolare. — Sia z la variabile complessa sul piano (x , y) e si ponga : 



u {x , y) = 1 > u 2 v-i(x , y) = — R[e s*] , u<i»{x , «/) = R^] , 

 ( V = l,2,...), 



si dimostra il seguente : 



Teorema fondamentale. — Comunque si assegni nel piano (x , y) 

 ««a curva regolare r di arco s — chiusa o aperta, priva di punti mul- 

 tipli — supposto che i punti di r si abbiano tutti al variare di s fra 

 e l , posto : 



(2) u k (x , ,//) su r = f k (s) (£ = 0,1,2, ...) 



il sistema \_fk{s)~] è sempre completo in (0,1), ed è di funzioni ivi linear- 

 mente indifendenti. 



Se, in particolare, la curva r è un cerchio o un arco di cerchio, di 

 raggio uno, si ha la nota completezza del sistema [cos ks , sen ks~] ; se la 

 curva r è un segmento rettilineo, dell'asse delle x, si ha la nota comple- 

 tezza del sistema Qc*] . 



4. Nuovo metodo d'approssimazione per la soluzione del pro- 

 blema di Dirichlet. — Sia Sì un assegnato dominio regolare (semplice- 

 mente connesso) — affatto arbitrario — del piano (x , y) , sussiste il seguente 



Teorema. — Comunque si assegni sul contorno r di Sì una funzione 

 f(s) del suo arco s , di quadrato sommabile, considerate le funzioni f h (s) 

 definite dalle (2) , si risolva, per ogni valore di n, il sistemà lineare (1) 

 e si ponga 



U„(x , y) == a[ n) u {x , y) + a[ n) u t (x , y) -\ (- a™ u n {x , y) , 



si ha allora che: I) Il polinomio armonico TJ n (x , y) , al divergere din, 

 converge su r, in media, verso la funzione f(s). II) In ogni dominio 

 completamente interno ad Sì , il polinomio armonico XJ n (x , y) , al diver- 

 gere di n , converge uniformemente verso una funzione armonica u(x , y) . 

 Ili) Se esiste in Sì una funzione armonica che, su r , prende i valori 

 rappresentati da f(s), essa non può essere che la funzione u(x,y) testé 

 indicata. 



