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e l'integrale Sì diventerà una nuova funzione 



flj — F^+yO + GGC -V) 



che soddisferà ad un'equazione simile alla (1), in cui le variabili x ,y sa- 

 ranno sostituite dalle x' , y' . Perciò la trasformazione (3) dovrà lasciare in- 

 variata l'equazione (1). Facendo i calcoli si trova infatti facilmente 



È chiaro poi che tutte le sostituzioni della forma (3) costituiscono un gruppo, 

 in quanto il prodotto di due di tali sostituzioni è sempre riducibile alla 

 stessa forma (3). 



Supponiamo ora che le funzioni </> , ip siano lineari e precisamente poniamo 

 (4) x + y = a(x' + y') x — y = — (x' — y') 



ove a è una costante non mai nulla. Questa trasformazione, come è evidente, 

 lascia invariata l'espressione x 2 — y 2 , e si ha quindi 



x* — c 2 t 2 = x' 2 — c 2 t' 2 . 



Perciò concludiamo subito che la (4) non è altro che la trasformazione di 

 Lorentz, che si presenta così come un caso specialissimo delle trasformazioni 

 rappresentate dalle forinole (3). È ben noto del resto che la trasformazione 

 di Lorentz lascia invariata la equazione (1). 



Un altro modo molto semplice per arrivare a questa trasformazione è 

 il seguente. Nella trasformazione ortogonale (rotazione di un angolo <w) 



x -f- iy = {x' -f- iy') e i(ù 

 scambiamo fra loro y ,y' , cioè poniamo 



x -4- iy' = -f- iy) e iw 

 e avremo anche in questo caso 



x 2 — y 2 = x' 2 — y' 2 . 

 Ma noi ci atterremo alla forma (4), dalla quale si ha subito 



Per ritrovare una delle forme più consuete della trasformazione di Lorentz 

 basta porre 



4 -5fr -K*<i 



x 



