Geometria. — Sui complessi covarianti di tre complessi li- 

 neari a due a due in involuzione. Nota I del Corrispondente Luigi 

 Berzolari. 



In un lavoro, di prossima pubblicazione, Sulle cubiche gobbe inva- 

 rianti simultanee rispetto ad un gruppo ottaedrico di collineazioni qua- 

 ternarie, mi si è presentato un particolare complesso del quarto grado, il 

 quale gode della proprietà che tutti i suoi coni hanno carattere lemnisca- 

 tico. cioè sono dotati di tre generatrici ad un tempo doppie e d' inflessione. 

 11 complesso risulta determinato, e può generarsi direttamente in modo 

 assai semplice, quando sian dati tre complessi lineari a due a due in in- 

 voluzione. 



In questa Nota e nelle successive espongo, insieme con tale genera- 

 zione, queile proprietà del complesso che hanno maggior legame col lavoro 

 cui ho accennato ; inoltre alcune osservazioni generali sui complessi cova- 

 rianti di tre complessi lineari a due a due involutorii. Piguia tra essi un 

 altro complesso del quarto grado, che pure ammette una semplice genera- 

 zione geometrica. 



1. Com'è noto, le equazioni di tre complessi lineari K 1 , K 2 , K 3 a due 

 a due in involuzione si possono scrivere, in coordinate p^ di Cayley-Pluc- 

 ker, sotto la forma 



(1) Kj = pn — p 34 = , K 8 = p 3ì — p 24 = , K 3 = i{p 31 -t-Pìì) = , 



nell'ultima delle quali il fattore i{= J — 1) è posto per la simmetria di 

 alcune tra le formole che seguiranno. 



Le rette comuni ai tre complessi costituiscono un regolo S della qua- 

 drica Q che ha per equazione locale 



(2) Q = X) x. 2 — x 3 %i — 0, 

 e per equazione in coordinate di rette tangenti 



(3) K = K^ + K| + K^ = U. 



Le coppie di direttrici d t d\ , d t d\ , d 3 d' 3 delle congruenze lineari, 

 in cui ordinatamente si tagliano K 2 e K 3 , K 3 e K] , K x e K s , apparten- 

 gono all'altro regolo S' di Q , e in esso si separano a due a due armoni- 

 camente. 



