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Una generatrice qualunque di S' ha equazioni della forma 



(4) Zi — A# 4 = , lx 2 — x 3 = , 



dove / è un parametro. In particolare, le di d[ , d 2 d[ , d 3 d' 3 possono 

 rispettivamente rappresentarsi con le equazioni 



l x 2 = , #4 = 0; Xi = , x z — ; 



(5) \ £2 — cc 3 = , Xì — Xi = ; aj 2 -}-iC3 = , as 1 4-# 4 =0; 

 f x 2 — ix 3 = , x x -f- 2^4 = ; #2 + = , a;, — ?'cc 4 = . 



La polarità rispetto a Q è permutabile con ciascuna delle polarità nulle 



, (e — 1) £c 2 -f- (l — 1/3) x 3 = ; 



0, (i+ 1) o;« — (l +|/3)z 3 = 0; 



0, (t+l)flr, + Ò- + ^)«8=0; 



0, (*— I) a? 2 — (l — f/3) ^3 = 0, 



e le «ì , , «3 , e 4 con quelle che si deducono dalle precedenti cambiando 

 segno a l/3- 



3. Ciò posto, in questo numero e nei due successivi conviene, per il 

 seguito, premettere alcune osservazioni a proposito di certe quadriche, che 

 restano determinate ogniqualvolta con i complessi Kj , K 2 , K 3 sia assegnata 

 anche una retta r . 



Anzitutto, le reciproche di r rispetto ai complessi della rete indivi- 

 duata da Ki , K 2 , K 3 formano una congruenza lineare passante per r , di 

 cui sono direttrici le due rette di S appoggiate alla stessa r . Se dunque 

 si costruiscono le reciproche di r rispetto a Ki , K 2 , K 3 , la quadrica R da 

 esse determinata (che si dirà quadrica corrispondente ad r) incontrerà Q 

 secondo due generatrici di S e due di S' . 



Dicendo p ik le coordinate di r , si trova che la quadrica è rappresen- 

 tata da 



(9) R == 0,2 — /)34) (#23 #31 X\ + #14#S4 X% #31 p l4 X% />23#24 X\) 



+ (#12 Vìi) (#31 ^3 Xi #24^2 Xi) 



+ (#31 —#24) (#14 X 2 X 3 —p 3 4 Xi X t —#23 Zi X 4 —pn X 3 X4) = 0\ 



In luogo di r considerando la sua reciproca r' rispetto a jQ , la qua- 

 drica R' ad essa corrispondente ha un'equazione R' = , che si deduce 

 dalla precedente scambiando tra loro p l2 e ^34 nel quadrinomio per il quale 

 è moltiplicata la differenza p 3l — p\ 4 ('). Ne segue l'identità 



R — R' = (pu — #34) (p3i —#24) Q , 



(') Per un'osservazione fatta al 11. 1, le rette reciproche di / rispetto a Ki,K|,K 3 

 sono altresì le coniugate di r nelle involuzioni rigate che hanno per assi d x di ,d 2 d 2 , d 3 d' 3 . 



I (f+l)^ + (l+t/3)£B4 = 



' (»'— 1) a?x — (l — fB)x4= 



i (2_l) a;i _|_(l__|/3) a 54 = 



