— 447 — 



Si ha così il teorema : 



La quadrica corrispondente ad una retta generica dello spazio in- 

 contra la quadrica Q lungo due generatrici del regolo S e due del re- 

 golo S'. luogo delle rette, le cui quadriche corrispondenti passano per 

 due generatrici di S' tra loro coincidenti è il complesso di quarto 

 grado, rappresentato dall'equazione (11') (*). 



7. Lo studio dei coni del complesso è strettamente collegato con la 

 considerazione di altri complessi di primo e secondo grado, che pure risul- 

 tano determinati dai dati complessi Kj . K 2 , K 3 . 



Anzitutto osserviamo che le generatrici di S' segnano sulle coppie di 

 rette e x e\ , ... , e 4 e' 4 altrettante omografie, e i luoghi delle rette da cui queste 

 vengono proiettate secondo fasci involatori sono risp. i quattro complessi 

 lineari L, , ... , L 4 ( 2 ) aventi le equazioni 



L, = — K, + K 2 + K 3 = , L 2 = K, — Kj + K 3 = , 

 L 3 = K, + K 2 — K, = , L ( == K, + K 2 + K 3 = . 



I medesimi complessi sono pure risp. i luoghi delle oo 1 congruenze li- 

 neari che hanno per direttrici due rette di S' separate armonicamente da 

 «i e[ , .., , e A e\ . 



Essi appartengono alla rete individuata da Ki , K 2 , K 3 , ma non sono 

 in involuzione nè con questi nè tra loro. 



La polarità rispetto a Q e la polarità nulla determinata da L, sono 

 permutatali, ed hanno per prodotto l'involuzione rigata di assi et e{ (i — 

 = 1,2,3,4). 



In secondo luogo, si considerino le quattro quadriche F, F 4 deter- 

 minate (n. 4) da una retta r con le coppie di rette e x e[ e 4 e\ ; dicasi 



V (Vi, •■'■>&*) un loro punto comune giacente su r, e si denotino ancora 

 con Kj , K 2 , K 3 i risultati che si ottengono sostituendo nei primi membri 

 delle (1), al posto delle coordinate correnti, le coordinate di r. Sussiste 

 l'identità 



col mezzo della quale, se si rappresentano con (F 1 ) = (F 4 ) = i 



piani tangenti in y a ¥ x = , ... , F 4 = , si riconosce che si può porre 



(F 3 ) = (K, + K 3 ) (F,) -f- (K, + K 3 ) (F 2 ) , 

 (F,) = (K, — K 3 ) (F.) + (K 2 - K.) (F 2 ) . 



i 1 ) Perchè invece coincidano le generatrici di S contenute nella quadrica corrispon- 

 dente ad una retta, è ovvio esser necessario e sufficiente che questa retta sia tangente 

 a Q. 



( 2 ) Cfr. la mia Nota citata Sul significato geometrico,... 



Rendiconti. 1922, Val. XXXI, 1° Sem. 5* 



