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Se ne deduce la proprietà: 



Se in un punto qualunque di r si conducono i piani tangenti alle 

 ■qwdriche ¥ y , ... , F 4 . il loro birapporto non dipende dal punto , ma sol- 

 tanto dalla retta r. 

 Inoltre: 



77 luogo delle rette r , per le quali il gruppo dei quattro piani 

 tangenti è armonico, è formato dai tre complessi di secondo grado 



H, = K* + K 3 2 — 2 K\ = , H 2 = K\ + Kf - 2 Kf = , 

 H 3 == Kf + Kf - 2 Kl = , 



e, denotando con £ una radice cubica iraaginaria dell'unità: 



77 luogo delle rette r, per le quali il gruppo dei quattro piani 

 tangenti è equianarmonico , consta dei due complessi di secondo grado 



K' = Kf + é 2 Kf + <- Kl = , K" = Kf -f sK 2 2 + e* Kl = . 



8. Le equazioni dei cinque complessi quadratici del num. precedente 

 mostrano che questi hanno per rette doppie tutte le generatrici di S. 



Ciascuno dei complessi H, , H 2 , H 3 ha inoltre per rette doppie risp. 

 le coppie di generatrici d x d\ , d 2 d 2 , d 3 d' 3 di S': infatti per es. il cono di Hi 

 che ha per vertice un punto y di d x si riduce al piano tangente in y a Q, 

 contato due volte. 



Per una nota regola (M, lo rette singolari, ad es., di H, si ottengono 

 dalle equazioni 



(Pia — P'mY = , J»31 Pu = . 



Sicché le rette singolari dei complessi H, , H 2 , H 3 costituiscono le con- 

 gruenze lineari speciali (ognuna contata due volte) aventi per direttrici risp. 

 le coppie di rette t/, d[ , d 2 d' 2 , d 3 d' 3 (ossia le congruenze formate dalle tan- 

 genti a Q nei punti di tali rette). I medesimi complessi hanno dunque, 

 nella classificazione di Weiler e di Segre ( 2 ), la caratteristica [(111) (11) 1]. 



I complessi K' e K" sono entrambi di caratteristica [(111) 111], e 

 posseggono un sistema lineare oo 2 di complessi lineari fondamentali, cioè 

 tutti quelli che passano per il regolo S'. e inoltre tre complessi fondamen- 

 tali isolati, che sono K x , K 2 , K 3 . 



Sì per l'uno che per l'altro la congruenza delle rette singolari si scom- 

 pone nelle quattro congruenze lineari rappresentate dalle coppie di equazioni 



Pu —Pzì — (i— 1) Pu = , p3i — ipu = o ; 



Plt—pZ* ± (*'+ 1)^24 = 0, p 3l yÌp 24 = 0, 



( l ) Pliicker, Neue Geometrie des Baumes, Zweite Abth., herausg. von F. Klein, 

 Leipzig 1869, pag. 296. 



(-) Weiler, Ueber die verschiedenen Gattungen der Complete zweiten Grades, Math. 

 Ann., Bd. 7 (1874), pag. 145; Segre, Sulla geometria della retta e delle sue serie qua- 

 dratiche, Meni, della R. Acc. delle Scienze di Torino, Serie II, voi. 36 (1885), pag. 87, 



