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2. Anzitutto riporto da loc. cit. (') qualche cenno sul calcolo assoluto. 

 Sia L una legge che faccia corrispondere ad ogni funzione U di una 



variabile u un'altra U' di una variabile u' : dico che L è legge di cova- 

 rianza e che U è un covariante di ordine n (ed allora lo indico con 

 U«) se U' t = U„ (du: du') n (n intero) per ogni trasformazione invertibile tra 

 u e u' . 



Se n — . L e legge di invarianza e U = U è un invariante. 



U„ -f- V, ( , U„ W m , U„ : W m sono covarianti di ordine n , n -f- m , n — m. 



Se 



(1) A = t/, du 



è un differenziale primo e ad «, si fa corrispondere a[ , ove k! — a[du' è 

 il trasformato di A , a x è covariante di 1° ordine, quindi a" di ordine n . 

 Lo stesso du è covariante di ordine — 1 . quindi V 1 du lo è di ordine 

 (invariante). 



L'espressione 



(2) U M+ i = dJJ n /du — wSU„, ove (3) S = dai/ct 1 du , 



è un covariante di ordine n -j- 1 che chiamo prima derivata covariante 

 di U„ rispetto ad A (e che coincide con l'ordinaria se «, = rost. o n = 0). 

 La derivata a 2 di a x rispetto ad A. è nulla. 



La derivazione covariante si applica ad un covariante U„ . che sia fun- 

 zione razionale di altri covarianti, con le regole del calcolo ordinario. 



Applicata nuovamente, dà la derivata seconda U n+2 , ecc. 



Con le derivate covarianti di una funzione U e con a y si formano i 

 parametri differenziali (1° , 2° , ...) di U (tutti invarianti), Ui , U g : a\ , ... 



3. Una curva piana r sia definita dando le coordinate (cartesiane o 

 proiettive) omogenee di un suo punto generico P in funzione di un para- 

 metro u : 



(4) x=x(u) , y = y{u) , z — s(u) . 



Scelto che sia il fattore arbitrario di proporzionalità h = h{U), insito 

 nella definizione di coordinate omogenee, le i4) costitnisccno un sistema fon- 

 damentale di soluzioni di una ben determinata equazione differenziale 



(5) r+3/*r+srr+*=o, 



purché r (nell'arco che si considera) sia priva di /lessi (quindi anche che 

 non sia una retta) come sempre supporrò. 



Gli altri infiniti sistemi analoghi daranno tutte le curve collineari a jT . 



( J ) Ved. nota ( 3 ) a pag. prec. 



