E, viceversa, una equazione del tipo (5) definisce, coi suoi sistemi fon- 

 damentali di soluzioni, una curva r e le sue collineari o, come suol dirsi, 

 una curva r a meno di una colline azione. 



4. Tutto ciò è ben noto. Ora la (5) può porsi, ed in infiniti modi, 

 sotto forma invariantiva, sostituendo alle f , /" , f" le derivate covarianti 

 rispetto ad un differenziale (1) scelto ad arbitrio. Precisamente, essendo, per 

 la (2) , 



(6) f' = /\ , f" = fi +S/i , /•'" = / 3 + 3S/ 2 + (S*+S')/\ 



(S' = dS : du) , 



la (5) può scriversi 



(5') A +3^ + 3^+^=0, 



ove 



(7) 6, = /? + S , , 2 = ,' + /? S + (S 2 + S')/3 , d 3 = ó. . 



Ogni termine di (5') è covariante di 3° ordine, perchè bi,Cì,d 3 lo 

 sono degli ordini 1,2 e 3 f 1 ). Ciò risulta dalle loro espressioni mediante 

 le (4): 



, \ q> | ^27 1 Q \x Xì x s \ , \xi a; 2 a;3| (") 

 (p) obi — r— r, 3^2=-——^ — — p, a 3 — : r- 



OC OC j OC 2 OC OC 1 Ob 2 \ OC OC \ oc%\ 



che permettono di costruire la (5') direttamente, anziché passando per la (5) . 



I coefficienti di (5') dipendono non solo da h , come quelli di (5) . ma 

 anche da A . 



'Normalizzando (ossia fissando) h ed A con legge intrinseca ed inva- 

 riante per coli., perverremo ad un'equazione normale, che sarà in corrispon- 

 denza biunivoca con r (e le sue collineari). 



Anzitutto, se si pone 



(9) f=sX 9 con (10) X = e-f òldu = e~^ du : a, , 



la (5') si trasforma nell'altra 



(11) 953 + 3jo 2 (fi + q 3 <p = 



i cui coefficienti valgono (come si vede con facile calcolo) 



(12) Ph = Cì — b\ — bì , £3 = d 3 — Sbid -+- — b 3 



I 1 ) Sicché, per eseguire una trasformazione u — u(u'), basta sostituire m(w') ad u. 

 nei coefficienti ed interpretare le fi,f%,ft come derivate covarianti rispetto ad A' tras- 

 formato di A. 



( 2 ) Con ]x r X s Xt\ indico il determinante di 3° ordine le cui rimanenti orizzontali 

 si deducono dalla prima (quella scritta) cambiandovi x in y in z\ esso è covariante 

 di ordine r-\-s-\-t. Si noti che, per le (6), | x ,i\ x 2 | = | x x' x" | ed è perciò indipen- 

 dente da A e diverso da zero ; esso è un primo invariante relativo di (5) (5'). 



