— 453 — 



e sono covarianti di ordine 2 e 3 rispetto ad A che dipendono solo da A 



Per vedere come variano variando A , confrontiamo la (11) con quella 

 che corrisponde al particolare A = du : sia 



(13) ip"' + -Ò7Tif,'-\- Z V = 0. 



Poiché questa non è che una delle influite forme che può assumere la 

 (5) variando il fattore h , si deve poterla trasformare nella (11), operando 

 su di essa come si è fatto con la (5) : si trova così anzitutto un'equazione 

 del tipo (5') con 



(14) &, = S f2 = 7T + (S 2 - ; S')/3 , tf 3 = Z , 

 giusta le (7) ; e poi la (11), ove. per le (12), sarà 



(15) p t = n-\-(^ — 2S')/3 . y 3 = z — 3S7r-f3SS' — S" — S 3 ( 2 i. 



Le (15) mostrano come variano p % e q 3 in (11 ) variando A (quindi S). 



È importante la relazione q^ — ■ 3jo 3 /2 = % — 37r'/2 che se ne deduce 

 eliminando S ( 3 ) ; perchè essendo i due membri formati con La stessa legge, 

 ma rispettivamente con i coefficienti di (11) ed A e coi coefficienti di (13) 

 e du , prova che 



(10) ^3 = ^3- 3jo 3 /2 = % — 3n'/2 



è un covariante di 3° ordine indipendente da A ( 4 ) . 



Dunque, se 6 3 ={= lungo l'arco di r considerato ( 5 ), potremo norma- 

 lizzare A assumendo 



(17) A = a ì du con a l = \/d 3 . 



La corrispondente (11) sarà la richiesta equazione normale. (Ju suo 

 sistema fondamentale di soluzioni sarà costituito dalle coordinate omogenee 



( 1 ) E non più da h. Poiché se le (11), corrispondenti a due scelte diverse h! , h" 

 di h, fossero distinte, dovrebbero potersi dedurre l'una dall'altra con una trasformazione 

 del tipo (9) (con X=h':h" o h" : h') ; e ciò è impossibile, perchè per ogni trasforma- 

 zione (9) la (11) perde la sua forma caratteristica (mancanza del termine in g> 2 ). A meno 

 che sia X= costante; ma in tal caso, come risulta dalle (7), i coefficienti di (11) non 

 mutano. 



( 2 ) Si tenga presente che. per la (2). si ha successi vamente b a = Z>i — = S' — S 2 , 

 ò a =*b' t - 2S6 t = (S" — 2 SS') — 2S(S' - S a ) = S" - 4 SS' + 2S 3 . 



( 3 ) E precisamente tra la 2" e la p s — p' 2 — 2Sp 2 = n — 3Sti + 2 (3SS' — S" — S 3 )/3, 

 che si ottiene dalla l a derivando eovariantemente rispetto ad A . 



( 4 ) E un secondo, cfr. ( 6 ), invariante relativo di (5) o (5') (Laguerre). 



( B ) E cosi supporremo sempre da ora innanzi. Con ciò si esclude che r sia una co- 

 nica, perchè solo nelle coniche è 3 = identicamente (Laguerre). Infatti, supposto 3 = O, 

 scegliamo un A = a 1 du tale che risulti p 2 — , il che, perle (15), equivale a scegliere 

 un S che soddisfi l'equazione di Riccati 2S' — S 3 — 37r = 0. Allora risulterà q 3 — ft 3 = 

 e la (11) diventerà q> a — , e poi q>"' — se si cambia la a col porre a t du = dv . Ora 

 questa ha il sistema fondamentale x = v 2 , y = v , z = 1 che definisce una conica. 



