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Posto, quindi, nella (1), J = vr , u = vt, moltiplichiamo per e~ r dr , 

 e integriamo, tra i limiti zero e oo : risulta 



o 



[ g>(»/) K[v(r — <)] <ft = f e~ r <D(vr) dr 



/a / 



Eseguiamo ora, nel primo membro, uno scambio di integrazioni, facendo 

 uso della nota formula di Dirichlet, e poniamo poi x = t , y — r — t : ot- 

 teniamo subito 



e~°° (f (vx) dx I é~ y K(vy) di/ = ) e~ r Q>(vr) dr . 



L'equazione (I) è così trasformata nell'altra 



(2) y e~* (p(vx) dx = F(v) , 



essendo 



1 f 00 



F(y) = I e~ x 4>(vx) dx . 



e- x K(vx)dx' 



Se poi K(v) e d>(w) sono funzioni analitiche, lo è pure, in un conve- 

 niente intorno dell'origine, dove si annulla del primo ordine ( x ), F(v) . Dalla 



(2) segue allora, com'è noto ( 2 ), 



(3) ^ ) = 2^l^ P (j)^' 



dove e è, nel piauo della variabile complessa 2, un contorno chiuso, sem- 

 plice, descritto nel senso positivo attorno all'origine, entro il quale la F{v) 

 è regolare. Si verifica, del resto facilmente, che la funzione q>{v) , definita 

 dalla (3), è soluzione della (2); basta per ciò aver presenti le note formule 



(4) Z7(A)= f°° e~ x x x dx , = — - f e z s'^ 1 dz , 



/ q //(/.) a ITI J c 



nella seconda delle quali, per A intero (non negativo) , si può scegliere 

 per c il contorno stesso che compare nella (3) ( 3 ). Posto, infatti, 



F{v) = v ^_„a n v n , 

 



(*) Ciò è chiaro, se K(0)=£=0; ma risulta anche quando sia, più in generale, 

 K(0) = K'(0) = - = KC-') (0) = , e K<»> (0)4=0 ; basti osservare che, affinchè la (1) sia 

 risolubile, dovrà essere pure *(0) = #'(0) = = #< n >(0~ = , come si vede, derivando n 

 volte la (1). 



( 2 ) Sotto altra forma, la (3) si trova, p. es., nelle Lepons sur les fonctions mono- 

 gènes del Borei; 1917, pagg. 46 e 47. 



( 3 ) Cfr , p. es., Whittaker and Watson, A cours of modem Analysis, 1915, pagine 

 237 e 239. D'altra parte, per '/. intero (non negativo), la seconda delle (4) si ottiene 

 subito, sviluppando in serie e 2 , e integrando termine a termine. 



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