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dalla (3) abbiamo 



fa, 1 °° T 00 C 



v\ e- K q>{vr)dx = - — : Y a„v n+l e- K x n d.< \ e z z~ n - x dz = ¥(v) . 

 Jo 2ni-T n J J c 



2. Mostreremo ora come l'equazione (2) si risolva, quando la funzione 

 F (v ) 



f(v)=—~ sia sviluppabile in serie di Fourier, in un intervallo ( — 1,1). 

 Poniamo 



j p(«)=i|io(2y^)+j (2^- y )|, 



( 5 ) i / _ _ > '0> 



( QW = è|lo(2^ y )- J„(2^ y ) j, 



dove J (f) è la funzione di Bessel di prima specie e di ordine zero, mentre 

 I (2) = J (is) . Risulterà 



P (l ,) = y, i( -i). [I ~ TT ^- yT . Q W =y,(-i).. (3ti + 1)!(2a + ]) , ; 



e la soluzione della (2) è data dalla formula 



(6) <p(v) = ^ ■£ Un + I Y„ £ /•(«) X 



X | cos « y m p|ny y j -f" sen ra-y w Q ^rc-y yj > #w . 



Infatti, cambiando in essa w in ycc, e sostituendo, nel primo membro' 

 della (2) , otteniamo appunto 



l ri i 00 n ti 



— J ^ c?w -f - ^ n J ^ / («) cos nj(v-u) du = /"(y) . 



Ciò discende subito dalle seguenti uguaglianze : 



(7) I e~ x F(v x) dx = cosv , I e~ x Q(y zjata; = sen v , 



che si stabiliscono facilmente, ricorrendo agli sviluppi in serie delle fun- 

 zioni P(y) e Q(w) , e alla prima delle (4) . 



3. Supponiamo invece che f(v) sia definita per ogni valore reale di y, 

 e rappresentabile mediante l'integrale doppio di Fourier ( 2 ). Abbiamo allora 



1 r<*> r+™ l \ 



(8) (f(v) = — da fi*)] cos a X ~P(av) -\- sena X Q(ay)[oU, 

 come agevolmente si verifica, procedendo in modo analogo al precedente. 



l 1 ) pfr. Riemann- Weber, Part. Di ff.-gleich. der math. Physik, l er Bd., ediz. 1919, § 18. 



