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// complesso non ha altre rette singolari che doppie, e sono 

 tutte quelle delle congruenze lineari aventi per direttrici d x d[ , d 2 d' 2 , d 3 d'i . 

 Le generatrici del regolo S sono anzi rette quadruple per il complesso. 



11. Consideriamo il cono di avente il vertice in un punto y di Q . 

 Non si vien meno alla generalità supponendo y sulla generatrice z % = x 3 = 

 di S , e in tal caso il cono ha l'equazione 



(yl x\ — y\ zi? -\-i yi y< x 3 (y l ar, -f y< ^'s) 2 = . 



Dunque il cono di avente il vertice in un punto generico y di Q 

 si spezza in quattro piani, che passano per la generatrice del regolo S 

 uscente d'i y e formano un gruppo equianarmonico. 



Se y giace sopra una delle rette e, , ... , «4 , e[ , ... , e\ , e soltanto in 

 questo caso, uno dei quattro piani è quello che tocca Q in y . 



Il cono di col vertice in un punto y di una delle due rette di , d\ 

 (i = 1 , 2 , 3) si riduce al piano che da y proietta l'altra rettaj contato 

 quattro volte. È questo il solo caso in cui i quattro piani non sono distinti. 



12. Un altro notevole complesso del quarto grado, covariante della 

 terna K, K 2 K 3 , si ottiene nel modo seguente. 



Rappresentiamo di nuovo una generatrice arbitraria di S' con le (4) . 

 Perchè essa sia appoggiata ad una retta r di coordinate pu, , dovrà aversi 



(12) p it A 2 + (p n — p 34 ) A +;j 31 = . 



Dicendo X x e A 2 le radici di questa equazioue, le due generatrici di S' 

 appoggiate ad r determinano nell'involuzione J (n. 2) due gruppi, che, pel- 

 le (5) , sono dati dalle equazioni 



X\ A 4 — (A} -f 1) A' 2 -j- A 2 = , X\ A 4 — (A 4 + 1) A 8 + A 2 = . 

 I due gruppi sono apolari quando 



l\ li _|_ /} _|_ xi _|_ 12 X\ k\ -f 1 = , 

 ossia, per la (12), quando 



{pa — jM* -\r(pl +Pl) 2 + 12 ph pi* —4^si Pu {pu—p-uY = , 

 alla quale, avendosi 



Pi +pU = \ (K! - Kf) , p 3ì pi* = -\ (Kf +• K|ì , 



può anche darsi la forma 



(13) Sì = K1 + K 4 + K$ -f- K 2 K| + Ki K\ + K? K 2 = . 



Questa è dunque l'equazione del complesso Sì di quarto grado, luogo 

 delle rette appoggiate a due generatrici del regolo S' , che determinano 

 nell'involuzione J due gruppi tra loro apolan. 



