— ;>0l — 



c) che la funzione debba avere il valore zero nell'intervallo ( — oo . a) , 

 il valore -j- 1 nell'intervallo (a, b) di lunghezza l compreso fra il punto A 

 e un punto B di ascissa b e, di nuovo, il valore zero a destra del punto B 

 nell'intervallo (b , + 00 ) • 



Cominciando dal primo caso, e supponendo, per maggiore semplicità, 

 che il punto A cada nell'origine, cioè che a = , si costruisca la funzione 



0>s (o) = \\ 1 '- sgn x 



(6) 



dove, seguendo le notazioni di Krouecker e Weierstrass, si è posto sgn x 



x_ 

 x\ 



1 per tutti 



si è indicato cioè con sgn x la funzione » segno di x « che è 

 i valori positivi di x e — 1 per tutti i valori negativi di x . 



La (6) ha evidentemente la proprieià di essere nulla per tutti i valori 

 negativi di x , sgn x = — 1, cioè nel primo intervallo del campo conside- 

 rato, e di prendere il valore -1- 1 per tutti i valori positivi di x , sgn = -)- 1 , 

 ■cioè nel secondo degli intervalli in cui è diviso il campo. Se il punto A, 

 invece di coincidere con l'origine, ha per ascissa -f- a , o — a , la funzione 

 diventa rispettivamente 



(8) 



$p2(è)=4j 1 + sgn(x — a)J 

 1 



1 -j- sgn(x -j- 



.,] 



conservando sempre la stessa proprietà di essere nulla a sinistra di A e di 

 avere il valore -{-la, destra dello stesso punto. 



Il secondo caso si deduce immediatamente dal primo cambiando sem- 

 plicemente in — il segno -f- del binomio fra parentesi, nelle (6) , (7) , (8) . 

 e si hanno così per le funzioni che prendono il valore -|- 1 a sinistra, nel 

 primo intervallo, ed il valore zero a destra di un punto dato A . le espres- 

 sioni 



(9) 



(lo) 



di) 



1 



2L 



sgn x 



SPi <o> = o 1 — s#/.(# — a) 



1 — $gn(x -f a) 



Resta da trattare il terzo caso e per questo si farà uso della funzione 

 * intiero di x » di Legendre, adottando per essa la notazione 1 x . con la quale 



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