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Geometria. — Nuova trattazione della geometrìa proiettivo- 

 dtff'erenziale delle curve piane. Nota II di Gustavo Sannia, 

 presentata dal Socio Enrico D'Ovidio, 



6. In pratica, data r mediante le (4), si calcolino i coefficienti della 

 corrispondente equazione (5). poi quelli della (13) con le formule (12) 

 (ma scritte per A = du) 



(13') n = Y~,r--ii' . x = d~-6§y - 2£ 3 — fi", 



indi 3 con la (1(3): si ha così il di'Terenziale normale (17) che è l'ele- 

 mento limare proiettivo da. Poi si calcoli p 2 con le (15) (ponendovi per 

 S la derivata logaritmica di l'O^ = </,); poi i valori ottenuti per a, e p 2 

 si sostituiscano nelle (18) e (19) ( ]3 ). 



(Ma naturalmente si può anche operare riferendosi ad un altro A qualunque). 



Infine, per costruire la normale n (non la tangente t, evidentemente), è 

 per ora indispensabile procurarsi il punto N , quindi le coordinate normali 

 di P : queste si ottengono (con una quadratura) moltiplicando le (4) per l 

 dato dalla (10) ( 16 ). 



( 1S ) Segue, da ciò. che 6 3 e p„ di pendono dalie derivate dei primi 6 e 7 ordini 

 rispett. di %,y,z. p 2 è il primo invariante relativo di r costruito da Halphen per altre 

 •vie. La costruzione di tutti gli invarianti relativi dipendenti dalle derivate dei piimi 7, 

 8 o 9 ordini, eseguita pure da Halphen. qui è semplicissima e per ogni ordine di deri- 

 vile, perchè : 



1°) Invariante relativo dipendente dalle derivate dei primi 7 ordini è ogni funzione 

 di h s ,f) c e p 2 che sia covariante-, p. es. h 3 + 56 s - a 1 p* , j/80j pi/ {h 3 -\- 3 ) , ecc. 



2°) Le derivate covarianti successive p t ,pi,... di p % sono invarianti relativi di- 

 pendenti dalle derivate dei primi 5 , 8 ... ordini rispettivamente. Quindi: 



3°) Ogni funzione f(h 3 , S , p 2 , p s . ... p ì+n ) che sia covariante è invariante rela- 

 tivo d 'pendente dalle derivate dei primi 7 -f n ordini. 



Nella trattazione del Wilczynski il posto di p 2 è tenuto da a = — 27fl|j» 2 che è 

 covariante di ordine (peso) 8; gli altri invarianti relativi vi si deducono da 3 e e con 

 un certo procedimento Jacobiano. 



• l 16 ) Ma, in seguito, si potrà fare a meno della normalizzazione delle coordinate 

 (quindi della quadratura); perchè daremo una definizione geometrica di n (ed anche di 

 T e N) (n. 13) che permetterà di determinarla con sole operazioni algebriche e di deri- 

 vazione. 



