7. Come r (o una collineare) individua i differenziali A (17) e K il8) 

 (a meno di una trasformazione del parametro u), così viceversa : due dif- 

 ferenziali k — a^du (<3i)=|=0' e K==k { du individuano <a meno di una 

 colli ne azione') una curva r di cui A e K sono l'elemento lineare e l'an 

 gola lì contingenza, quindi I=K:A la curvatura; le coordinate nor- 

 mali x , y , z di un suo punto generico costituiscono un sistema fondamen- 

 tale di soluzioni di 



(22) 5P3 + a\ I y> r- «?(«•» + li/2)y = ( 17 >, 



le derivate covarianti essendo prese rispetto «d A . 

 Applicando le (8) alla (22) , si ha 



(23) | x .' i x s \ — , al l = ] x x% r 3 1 : | x x t x 2 | ; 



ma | x Xi x 3 1 = | x x l x% |i — | x x t x 2 \' — 3 S x x% \ ; quindi la l a integrata 

 dà, per la (3), ! x x x x 2 \ = a\ ( 18 ). Dunque: in coordinale normali xyz 

 ralgono le formole 



( 24) Z — a\ = | x Xx x<i | , I = | x x t x 3 1 : a? . 



In particolare, se come parametro u si sceglie l'arco , è a> — 1 ed 

 I funzione di a ; e si ha : una curva r è individuata a m- no di una coli, 

 dalla sua « equazione intrinseca proiettiva » I = Ilo - ) ; le coordinale nor- 

 mali di un suo punto costituiscono un sistema fondamentale di soluzioni di 



'22') y 3 -ISPi+(l + I./2)9> = ( 19 ), 



e si possono supporre tali che sia 



( 24') | x Xì x 2 \ = 1 , 1 — | x x 2 x s | , 



le derivate (ordinane) essendo fatte rispetto a o . 



Osservazione — o è un primo invariante (integrale) assoluto di r ; 

 segue I , che dipende dalle derivate dei primi 7 ordini di x ,y , s (o 3 

 per coordinate normali) ; poi I, : a, , I 2 : a? , I 3 : a? . ... nei quali il massimo 

 ordine delle derivate aumenta di 1 successivamente. Ogni altro invariante 

 assoluto è una funzione (qualsiasi) dei precedenti. 



( 17 ) È la (11) ove si è posto 3p 2 = a\ I , per la(19), e q 3 —d a + 3p 2 /2 = u\-+- afi/2 

 per le (16), (17) e (19). 



( 18 ) La costante d'integrazione si può supporre uguale a 1 , disponendo del fattore 

 numerico per cui è lecito moltiplicare le coordinate normali ; cfr. ( 13 ). 



(") Questa equazione è chiamata forma canonica di Halphen della (5) dal Wilczyn- 

 ski, loc. cit. ( 2 ), pag. 61 ; il quale invece fa uso costante della più semplice forma cano- 

 nica di La guerre- Forsyth, che è (f'" -f 3 q> = . Ma per ridurre la (5) a tal forma, oc- 

 corre risolvere una equazione di Riccuii, mentre che per ridurla alla (22') bastano due 



quadrature, la (10) e la o — ^a, du con a l= \/d 3 ; inoltre essa non è intrinseca come 

 la (22'). 



