— 505 — 



8. L'inviluppo delle normali n è l'evoluta proiettiva di r, che ne è 

 Y evolvente proiettiva. 



L'evoluta di r è il luogo dei suoi centri di curvatura. Perchè le 

 derivate delle coordinate di tal punto C (x -j- .r 2 /I , ...) (n. 5) ( 20 ) sono x x -j~ 

 + r 3 /I — 5- 2 r,/I 2 = — (1 -f- 1/2) x/l — se, T./I 2 , ... per la (22'), quindi de- 

 finiscono un punto della stessa n . 



Dirò cerchi proiettivi le curve le cui noimali concorrono in un punto 

 (centro). Essi sono caratterizzati dall'equazione intrinseca I = 2a ( 21 ). 



Infatti, affinchè C sia un punto fisso, occorre che siano costanti le sue 

 coordinate non omogenee {\x -\- x t )/(ìs -\- z%) . (I •/ + 2/ 2 )/(I* -f- s 2 ) : ugua- 

 gliando a zero le loro derivate ed eliminando x% , y ? . , s 3 mediante la (22'), 

 si hanno le equazioni il, — 2) (xSt — zx 2 ) = . (li — 2) (yz 2 — Ztf t ) — 

 che. per la l a delle (24'), sono compatibili solo quando I , = 2 , ossia 1 — 

 = 2<r -j- a , con c costante (che si può supporre nulla con opportuna scelta 

 dell'origine degli archi a). 



9. 1 punti P , T , N sono vertici di un triangolo (che dirò normale) di 

 cui due lati sono le rette t , n che inviluppano r e la sua evoluta: il terso 

 lato TN inviluppa la curva luogo del punto T, perchè le derivate # 2 ,... 

 delle coordinate x, . ... di T sono le coordinate di N (supposto le x , ... nor- 

 mali ; cf'r. n. 5). 



Per lo studio proiettivo di r nell'intorno di un suo punto P . è nata 

 rale assumere come triangolo di riferimento quello normale, perchè definito 

 in modo intrinseco ed invariante per coli. Ora le coordinate di ogni punto 

 M del piano sono combinazioni lineari di quelle di P , T , N . 



(25) Xx + Y< , +Zr s , Xy -f Yy x + Z;/ 2 , X* + Y:, + Z 5 



ed i coefficienti X , Y . Z sono appunto le coordinate di M rispetto a TPN 

 (coordinate locali) e col punto uuità U (x -j- x x -J- x% , ...) • 



Supponendo che M stia su V in un intorno di P , la sua l a coordinata 

 (non locale) può svilupparsi in serie di potenze dell'arco PM = cr che arre- 

 sterò al termine in rr 9 : 



(26) x + x x a + xo <r*/2 \-\ h x % <r 9 /9 ! + R I4 ( 2S ) . 



I coefficieuti sono i valori di ce e delle sue derivate rispetto a <r cal- 

 colatate in P, cioè per a — , e sono tutte esprimibili linearmente in fun- 

 zione dei primi tre x , Xi , x 2 -, mediante la (22') con f—x e quelle che 

 se ne deducono derivando. Eseguendo il calcolo, dopo aver posto 



(27) 1 = 2/, 



(*°) Daoni innanzi (fino al n. 17) supporrò, come è lecito, che sia P l'origine degli 

 archi a su T ed u = a , quindi a, = 1 . 



( J1 ) Per la loro determinazione effettiva occorre integrare la (22'). clie diventa 

 (p'" -\- 2aq>' -f- 2q> = ed ammette l'integrale primo q>" -\- 2acp = costante, ma die si 

 lascia integrare solo mediante serie. 



( 22 ) In generale indicherò con B m un resto infinitesimo con a di ordine n . 

 Rendiconti. 1922. Voi. XXXI, 1° Sem. 65 



