doppio per r e non per r, . In generale, dunque, L è una linea doppia 

 tacnodale: ogni suo punto è per V 3 un tacnodo f 1 ). 



Ne segue che L non può essere una linea non piana, di ordine quindi 

 > 3, perchè la sezione iperpiana generica di V 3 avrebbe almeno tre tacnodi 

 non allineati senza poter avere una linea doppia di ordine ^>1. Se poi L, 

 di ordine > 2. stesse in un piano t. questo non potrebbe stare su V 3 (se 

 no starebbe anche uell' S 3 , co , del ragionamento precedente, quindi L sarebbe 

 doppia per il cono F 4 , cosa chiaramente assurda), e quindi L potrebbe essere 

 solo una conica; ma allora un S 3 generico per x segherebbe la V 3 in 

 una F 4 rigata con L doppia ed avente una retta doppia fuori di r, sicché V* 

 acquisterebbe un piano doppio incidente ad L , e sarebbe una di quelle del 

 n. A a), la quale non può rientrare evidentemente nel caso attuale. 



Si conclude che L è una retta; sicché &> sega V 3 in un cono quartico, 

 generalmente irriducibile, avente L come generatrice doppia. Un piano ge- 

 nerico g per L sega V 3 , fuori di L, in due rette incontrantisi su L; perciò 

 per un punto generico di V 3 passa una sola retta di V 4 incidente ad L, 

 e a sta su uno solo degli S 3 tangenti a V 3 nei punti di L : tali S 3 formano 

 dunque fascio (intorno ad un piano contenente L). Notando infine che la 

 sezione iperpiana generica di V 3 è una F 4 con un tacnodo P su r, sulla 

 quale i coni quartici sezioni di V 3 con gli co 1 S 3 anzidetti segano un fascio 

 di sezioni piane passanti per P (V S 3 tangente a V 3 in P segando proprio 

 il piano tangente alla F 4 in P), e che detto fascio risulta riferito proietti- 

 vamente ai punti di L , si ricava per V 3 la seguente costruzione : presa in 

 un S 3 una F 4 con un tacnodo P su L ( 2 ), si ponga una proiettività tra i 

 punti di L ed i piani d' un fascio, nell' S 3 della F 4 , contenente l'unico piano 

 tangente ad F 4 in P stesso, e in modo che questo piano corrisponda al 

 punto P di L: la V 3 richiesta è luogo dei coni che proiettano da ogni 

 punto di fj la C 4 sezione di F 4 col piano omologo. 



Scritte le equazioni della F 4 sotto la forma: 



0) z„ — z\z\ H-e,2 2 a 2 {ZìZ 3 z 4 ) -j- fi A (e % z z z 4 ) = , 



■e quella della proiettività considerata sotto la forma: y x Zì — ?/o^4~0, la 

 V 4 risulta luogo del punto: 



<2) Qx = hj ; QX l = z 1 + ; qx s = z 2 : qx z = z 3 ; qx 4 = z 4 ; 



(*) Chiamando cosi un punto doppio uniplanare P di Vf, quando le sezioni di Vf s 

 ■coi piani generici per P hanno ivi un tacnodo. 



( 2 ) Cremona, Sopra una certa superficie di 4° ordine, Coli, in meni. Chelini, Mi- 

 lano, 1881, pp. 413-424; Opere Matem., Ili, pp. 444-453. Noether, Ueber die rationalen 

 Flàchen vierter Ordnung^ Math. Ann., 33 (1889), pp. 546-571. 



