— 24 — 



perciò la sua equazione è: 



(3) {x\X% — x x 4 ) 2 -j- (xiXo — x x 4 ) a 2 (x 2 x 3 x 4 ) -\- PJjCtXzXi) = (')• 



5. In generale, la (1) e le sezioni iperpiane di V 4 S sono razionali ( 2 ),. 

 e però tale è pure V:, ( 2 ); ma si hanno dei casi speciali notevoli in cui 

 la (1) diviene irrazionale, perchè acquista un fascio ellittico di coniche; si 

 riconosce allora subito che anche V diviene irrazionale, perchè acquista 

 un fascio ellittico di quadriche. Cioè: 



a) se a 2 e f} 4 non contengono x 2 , vi è sulla (1) un tacnodo P' di- 

 stinto da P ( 3 ), e su V* si ha una seconda retta doppia tacnodale 1/ inci- 

 dente ad L; le quadriche di V' stanno a coppie negli S 3 contenenti LI/, 

 le quadriche d'una stessa coppia essendo raccordate fra loro lungo L ed L'; 



b) prendendo: ^ 4 = \a\ — ip, x 2 x 3 ) ( 4 ), la V* si può riguardare 

 come un caso speciale della precedente in cui L'=L. 



c) prendendo invece: (3 4 -=\a\ — ip 4 {x 2 r 4 ), il fascio di piani usato 

 nella costruzione della coincide con quello dei piani delle coniche della 

 (1), sicché le rette di Vi uscenti da un punto generico di L formano, ora> 

 due coni quadrici aventi lungo L contatto di 3° ordine. 



6. Ammettiamo ora che V* abbia lungo g un S 3 tangente fisso ; sicché 

 i punti A , B , C del n. 3 son tutti multipli per V\ . 



Se due di essi, ad es. A,B, coincidono in un punto doppio per y e 

 triplo per V* , essi descrivono una retta tripla t od una conica tripla L. 

 (n. 4b)). Il primo caso va escluso, perchè il piano gt non può contenere 

 su g un punto doppio ulteriore G di V* distinto dal punto gt , né ad esso 

 consecutivo. Nel secondo caso, un S 3 generico condotto per il piano n di L , 

 che è doppio per V* , sega ancora V* in una P 2 irriducibile contenente L; 

 ne segue che C è distinto da A = B, se no quella P 2 non sarebbe un cono, 

 e quindi per un suo punto generico- passerebbero due generatrici distinte 

 g , g' di V!, contro l'ipotesi che la cubica y sezione ulteriore (fuori di g) 

 di V* col piano gg' non incontri g fuori del punto gli. Dunque V* ha, 

 oltre L, una linea doppia irriducibile L, , di ordine x e con x — 1 punti 

 su 7t; se y di questi stanno su L, si vede subito che dev'essere: 2x — y = 4, 



(') Equazione analoga a quella d'una F 4 rigata di S 3 con due rette doppie infini- 

 tamente vicine; v. Cayley, A second Mernoir on skew Surfaces, otherwise Scrolls, Pini. 

 Trans., 154 (1864), pp. 559-576 e Coli. Matti. Papers, voi. V, pp. 201-220; Cremona, Sopra 

 una certa famiglia di superficie gobbe, Eend. Ist. Lomb., (2) 1 (1868), pp. 109-112 e 

 Opere Matem., II, pp. 399-101. 



( 2 ) Fano, Sulle varietà algebriche a tre dimensioni a superficie-sezioni razionali,. 

 Ann. di Matem., (3) 24 (1915), pp. 49-88; Scritti mat. offerti ad E. D'Ovidio, pp. 342-363. 



( 3 ) Kummer, Ueber die Flàchen vierten Grades, auf welchen Schaaren von /{egei- 

 schnitten liegen, Creile, 64 (1865), pp. 66-78, a p. 71. 



( 4 ) De Francois, Le superficie irrazionali di 4° ordine di genere geometrico' 

 superficiale nullo, Rend. Palermo, 14 (1900), pp. 33-65, n. 3. 



