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e quindi (poiché: y <.cc — 1): ar= 2 , y = od: a? = 3 , «/ = 2; cioè L t , 

 può essere: una C 2 con un punto su n , ma non su L; una C 3 piana con 

 un punto doppio su L ; una C 3 sghemba con due punti (distinti o no) su L . 

 In ogni caso V* è luogo delle rette incidenti ad L , L, , perciò va escluso 

 il 1° caso ( 12 ); la sua equazione è, negli altri due casi rispett. : 



x 2 [x a t (x 3 s 4 ) + M X 3 X *)1 — 4ccì\x 3 Vi) = ; x\x 3 >: 4 — (x x 4 — x\) (x t x 3 — :,*) = 0. 



(Nell'ultimo caso si son supposti distinti i punti comuni ad L,Li). 



Se poi A , B , C son tutti doppi per V * , al più uno di essi può descri- 

 vere (una superficie, anzi) un piano doppio di V* ; ne segue che A,B,C 

 non sono tutti distinti, perchè se A, ad es., descrive un piano, le quadriche 

 di V' situate con quel piano in uno stesso S 3 dovrebbero avere due punti 

 doppi distinti, e, d'altra parte, il luogo di A , B , C non può essere comples- 

 sivamente una linea (irriducibile o no), perchè questa, avendo oo 2 trisecanti, 

 sarebbe piana. Se A = B (ed eventualmente A = B = C), la V* deve rien- 

 trare in quelle del n. 4 <?), ma se si scrive l'equazione dell' S 3 tangente 

 generico della (3) si vede che esso non può restar fisso lungo g (per fal- 

 ciò possono servire le (2), che rappresentano parametricamente la V 4 . coi 

 parametri X , z 2 , z 3 , z 4 , quando vi si riguardi z l come funzione implicita 

 di z 2 , z 3 , z 4 definita dalla (1)).' 



7. Le V* irriducibili normali, non coni, che son luoghi di oo 2 oo 3 

 rette sono : 



1°) La V* di S 6 luogo dei piani che uniscono punti omologhi di 

 due rette e d'una C 2 , generiche, riferite proiettivamente (è la sola a 

 curve-sezioni razionali, e la sola con oo 3 rette) ; 



2°) La base d'un fascio di quadriche di S 5 (è la sola a curve- 

 sezioni ellittiche) ; 



3°) La V3 di S 4 con piano doppio; 



4°) Le seguenti V* di S 4 aventi lungo ogni generatrice un piano 

 tangente fisso: a) le V 4 con piano doppio n ed inoltre una linea doppia 

 (che può essere: una retta sghemba con n , una conica incidente a n, 

 una C 3 piana con un punto doppio su n, una C 3 sghemba con due punti 

 su ti, una G* di 2 a specie d'un S 3 con tre -punti allineati su re, una C* 

 di S 4 con tre punti su ti); b) la V 4 con retta tripla; c) la V 4 con co- 

 nica tripla (entro un piano doppio); d) la V 4 con una retta doppia tac- 

 nodale; e) la V 4 con due rette doppie tacnodali incidenti, ed eventual- 

 mente coincidenti (è la sola irrazionale); 



5°) Le V 4 di S 4 (aventi lungo ogni generatrice un S 3 tangente 

 fisso) dotate di conica tripla L, in un piano doppio ti, e d'una linea 

 doppia ulteriore (che può essere : una C 3 piana con un punto doppio su L , 

 una C 3 sghemba con due punti su L). 



Rendiconti. 1921. Voi. XXX, 2° Sem. 



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