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e ogni Q risulta essere Ops per coppie (v ; k) tali che k è operazione e v 

 è classe di grandezza omogenea rispetto a k. 



Si definisce la somma, -J-» P er i Qo assoluti ponendo 



(3) x , y s Qo : D x , y ' x -f- z/ . = . ? [Q n £ ? j/z c Oper. w £ Grand /ì . 



/( , u .z{u; h) = x (u; h) -f Uìh y (u ; 



(perchè p u ,n,u,n è una identità) e risulta 



(4) Q £ Grand -f- . 



Si possono definire io zero, 0, e l'unità, 1, assoluti di Q ponendo 



(5) . = . v [Q n xì \ hs Oper y £ Grand h .O h , u . x (u , A) = 0',,, , 



(6) = l Mj ,...]- 



In modo ovvio si ottengono le classi assolute N , K degli interi e dei 

 razionali, insieme ai simboli assoluti 2, 3, .... e loro derivati, con i quali 

 si esprimono i Q . È chiaro che 



- (7) h s Oper . u s Grand h .Oh, u ■ Q, (u , h) — x (u ; h) \ x 'Q 



cioè da ogni simbolo fisso, x, indicante un particolare Q assoluto, si ottiene 

 il Q (u,Ji) corrispoiMente con la notazione x (u;h), e ciò per ogni x di Q ( 8 ). 

 Inoltre si ha ovviamente 



(8) Hp (7). x , yeQ . Oj», M ,a,j, . X (u : h) -|-„, ft y (u ; h) = (x -f //) (w : A) . 



11 prodotto , X , per i Q assoluti si definisce così. Si definisca, come 

 d'uso [pag 169], x X y quando ^,^«N , indi quando »,pE non 

 entrambi N , infine quando x , y s Q non entrambi R ponendo xXy = 

 V (a X b) ove a , b sono classi di R tali che x = 1' a , y = 1' b. Si avranno 

 per il prodotto , X , le ordinarie proprietà e potrà esser definito il quoto, /, 

 pure con gli ordinari metodi. La teoria dei Q assoluti è così stabilita ( 9 ). 



Giova osservare che i Q , definiti dalla (2) non sono Ops (u'u^u), 

 ove u è Grand h generica, e neanche è possibile (cfr. <s> ) assegnare ad essi, 

 ■con definizione, tale proprietà per seguire l'uso comune secondo il quale si 

 scrive semplicemente xa al posto di x (u ; h) a ove x s Q e a£u( ] °). 



( 8 ) Gli elementi, ad es., di N [u , h) sono indicati da 



(a) Ó (« ; h) , 1(« ; h) , 2 («; h) , 3 (« ; h) , 



Per le classi t C , Oj (cfr. (4> ) s'ha, ad es., 



2(,0 } A) (1;1) = (1 ;2) , 2 (0, ; k) (1 ; 1) = (2 ; 1) , 

 il che prova che nelle (a) non si possono sopprimere u , h perchè altrimenti si avrebbe 

 2(1 ;1) = (1 ;2) , 2(1 ;1) = (2; 1), il che è un assurdo essendo (1 ; 2) - = (2 ; 1) (cfr. < 2 \). 



( 9 ) La (2) dà i Q assoluti in modo diverso, più semplice e rigoroso, di quello 

 -seguito nella Nota del 1915 (cfr. <"). 



( 10 ) Se .r,!/£Qo si potrà scrivere, seguendo l'uso comune, xy al posto di x X y , 

 • ma solo come notazione abbreviata e non come notazione effettiva, altrimenti ogni Q 



