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5. Dalle precedenti osservazioni risulta che il simbolo Grd [pag. 381, (5)] 

 è privo di alcune delle proprietà che nelle pp. 381-409 di L. M. gli sono state 

 attribuite. Ecco i cambiamenti generici che occorre fare. 



a) Volendo, come è opportuno, mantenere a Grd il significato di 

 « grandezza omogenea assoluta » , a pag. 381 si cambi (5) e Grd in (5') e 

 Grd' « grandezza omogenea relativa ad una operazione » . Le classi X C , Ci , 

 F , G (cfr. (4) ), Q , -j- Q sono delle Grd'. 



b) Le ordinarie grandezze geometriche (lunghezza, .. .), o fisico-mec- 

 caniche (massa, lavoro, . . .) sono enti per i quali è stabilita a priori la 

 condizione di uguaglianza e la operazione somma, dipendenti soltanto da 

 proprietà geometrico-lìsico-meccaniche e non dalla particolare definizione nomi- 

 nale (=) di esse [pp. 298-311]; esse, peraltro, si definiscono [pag. 298 e seg.] 

 nominalmente insieme alla somma. — Queste classi di grandezze, insieme 

 alla relativa operazione somma (cfr. <u ) formano appunto la classe Grd 

 « grandezza omogenea assoluta » che interessa introdurre e che riteniamo 

 definita dalle condizioni sopra esposte. Una definizione nominale (=) di Grd, 

 simbolica, è possibile ma presenta alcune difficoltà formali che ora non 

 intendiamo affrontare. Ci basti per ora ritenere che se u , v s Grd aventi a 

 comune almeno un elemento, esse sono identiche. Inóltre se u e Grd è da 

 considerarsi una sola operazione somma che, senza inconvenienti formali, 

 può essere indicata con l'unico simbolo -}-. 



c) Stabilito quanto è indicato in b), segue che la definizione di Q 

 [pag. 388] vien sostituita dalla (2) del n 4 di questa Nota; ma, lo si noti, 

 i Q si ottengono sempre dalle grandezze e gli N , R come casi particolari 

 dei Q . — La definizione euclidea dei Q [pp. 399-406] si cambierà nella 

 definizione dei Q (u , h), sostituendo a Grd il nuovo simbolo Grd' (cfr. a), 

 ponendo esplicita la ipotesi li a Oper, u e Grand h e conservando ovunque gli 

 indici u,h come nelle (1) (2) (3) delle pp. 400. 401 di L. M. — Il teo- 

 rema di pag. 406, n. 1, L. M. è implicitamante contenuto nella defini- 

 zione, b), di Grd. — Ecc. 



d) Se me Grd , a s u , x s Q , si può, per seguire l'uso comune, porre 

 x a = x (u, -j-) a e dopo ciò i Q assoluti risultano Ops per gli u qualunque 

 sia la classe u appartenente a Grd ; notando che Q — e Grd. — Poste ancora 

 le (6), (7) di pag. 381, L. M., col nuovo significato di Grd, e se xe grd - Zero, 

 allora Q x indica (cfr. n. 1) una sola classe di Grd e precisamente » gran- 

 dezza omogenea con x ». — Ecc. 



sarebbe Ops e Opd per i Q (cfr. n. 1, (6) ). — Inoltre se ai Q si assegnasse la pro- 

 prietà di essere Ops (u'u , u) si avrebbe, ad es , (cfr. < 2) ), considerando i — (— Q , 



3 + 5 = 8 e anche 3,+ 5 = 3 (+ 5) = + 15, 



e si avrebbe così un assurdo. 



