b) se Pi P 2 sono due punti corrispondenti, il luogo delle rette P! P 2 

 -è una sviluppabile-, 



c) il luogo dei punti P che dividono il segmento Pi P 2 in un rap- 

 porto costante è una curva di Bertrand. 



M. Tajima ('). trovando estremamente innaturale la dimostrazione di 

 Bioche, dà una diretta dimostrazione della proprietà c), presupponendo di- 

 mostrata la a). 



Dell'intero enunciato do qui una semplicissima dimostrazione. 



2. Sia Yi una curva qualunque, y 2 una curva riferita punto a punto 

 a Yi in guisa che le tangenti in punti corrispondenti Pj , P 2 siano parallele : 

 in altre parole, y 2 è una trasformata di Combescure ( 2 ) della Y\ • 



Il luogo dei punti che dividono il segmento Pi P 2 nel rapporto co- 

 stante p : q è una trasformata di Combescure. 



Codesto luogo è descritto dal punto P per cui: 



(1) ^(P-P l )+?(P-P 2 ) = 0. 



Derivando rapporto ad s, . arco di Y\ i e tenendo presente che per ipotesi 

 è ti = tj, si ha: 



< 2 > e +»£)'" 



ciò che dimostra l'asserto. 



3. Ricordiamo che se V x descrive una curva Y\ • il punto : 



(3) Po =0 + [ti/'(Si)^i 



descrive una curva y 2 che è trasformata di Combescure di Yi e sussistono 

 le relazioni : ds s = f{Si)-ds t , (* 2 = f(s{} p, , t 2 = f{s x ) t 1 . 



Allora è chiaro che se Y\ è una curva a flessione costante 1/^ = l/h e 

 di torsione 1/t, , la curva y 2 descritta da: 



(4) P 2 = 4- k j ^ ds 1 



è una curva a torsione costante l/r 2 = l/#. 



Con ciò è dimostrata la parte a) dell'enunciato. 



4. La rigata luogo delle rette P, P 2 è descritta dal punto : 



(5) Q = Pi-r-«(P, — Pi), 

 u variabile numerica. 



La condizione di sviluppabilità è ( 3 ): 



(') M. Tajima, Ori Bertrand Curves. The Tóhokn Mathematical Journal, voi 18, 

 pp. 128-133, 



( a ) Bianchi L., Lezioni di geometria differenzi /le ; 2 a ediz., Pisa, E. Spoerri, 1902, § 20. 

 ( 3 ) C. Burali-Forti, Corso di geometria analitica-proiettiva per gli allievi della R. Acca- 

 demia Miliiare; Torino, Petrini. 1912, § 167. 



