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Matematica. — Un'espressione nuova dei numeri bemoul- 

 liani. — Nota di Alberto Tanturri, presentata dal Corrispon- 

 dente Gr. Peano i 1 ). 



In questo scritto, servendomi dei risultati della mia Nota: Determina- 

 zione della derivata n ma di tg x e di coi x , che sarà tra breve pubblicata 

 nel Bollettino di Mat. del Conti, giungo a una nuova espressione dei numeri 

 bernoulliani, più semplice di quelle finora conosciute. 



I. Se x è un numero reale, minore, in valore assoluto, di 7r/2: 



tg x — x /?„ — — ; 



— » (In — 1) ! 



dove p n = 2 2,i (2 2,ì — 1) B n /2n , con B 1 = 1/6 , B 2 = 1/30 , B 3 = 1/42 , ... , 

 e, in generale, B n = n mo numero bernoulliano, secondo la notazione del 

 Binet, adottata, per es.. dal Formulario, e, più recentemente, dal Dini, nelle sue 

 Lesioni di analisi ecc. Lo sviluppo del Maclaurin dà poi che ^„ = (D 2n_1 tgà) , 

 cioè al valore nel punto zero della derivata (2n — l) ma di tgx: che, per 

 la Nota citata, scrivendo P„ al posto di P n+ i,m = 



V^n 2 "- 1 — P 1 ., (/e — 1 ) 2 ' i - 1 +Pt(« — 2) 2 "- 1 (— lf- 1 Pr 1 : 



con P?, = 1 ; 



•^-?.(-^("-* i+4 itìiÌr-* 1 >. 



« * -S.(-vK(*:i + -^(Jiii- 4 i)«?+>)+H^C9 



per A =1,2,3,.... Si noti che le tre relazioni scritte posson servire a 

 definire anche P° come uguale a 1 ; e Pò , P» , Po > ••• , come tutti uguali a 2, 

 perchè, in ogni caso, per n — , non resta nei secondi membri che il termine 



della sommatoria corrispondente a k — A — 1 , e cioè ( — l) x_1 2 K "^J , 



che =2; e, finalmente, quando n = 1 , 2 , 3 , ... , a definire P*, non solo 

 per h da zero a n — 1 , ma anche per tutti i valori superiori dell' intero h . 

 Avrò, per es., che, per «=1,2,3,...: 



Pi, = 2(» + 1) ; P* = 2(« + l) 2 -rc ; P* = s( n + 2 ) - 2(n* - 1) ; 



p* = 4^ + 2 )(« + i) — 2(n a -i)(* + D + (j) ; ». ; 



e già queste prime espressioni non hanno, come si vede, veste molto semp lice.. 



(*) Presentata nella seduta del 16 gennaio 1921. 



