2. Ma nella stessa Nota ho dimostrato che 



p 







1 



2 











1 



2 



2 



2 



1 



1 



4 



7 



8 



2 



1 



6 



16 



26 



3 



1 



8 



29 



64 



ph p/i— 2 I 9p4— 1 I p/i 



L rc + 1 L n i hjL n T 1 ll.i 



■per «==1,2,3,..., e 7i == 2 , 3 , 4 . ... . Si costruisca, dunque, quel che il 

 Lucas (ved. Théorie des nombres, pag. 5) chiama una tavola di somme, 

 con questa legge: « nella verticale d' indice zero, che conterrà P^ , P? , PS . ... , 

 si scrivan tutti 1; nell'orizzontale d'indice zero, che 



h conterrà Pq , P , Po si scrivan, dopo 1' 1 , tutti 2 ; 



nella verticale d' indice 1, che conterrà P , Pi , Pi , ... , 

 si scrivan, dopo il 2, i numeri 4,6,8,.... Poi. se 

 a , b e c son tre numeri consecutivi d' un' orizzontale, 

 si scriva, sotto c, il numero a + 2b -f- c » . E all' in- 

 crocicchio della verticale d' indice h con l'orizzontale 

 n . 



d' indice n + - s i troverà il numero P* +1 . 



3. Possiam ora osservare che a + 2b -f- e = (a -f- b) + (6 -J- c), e com- 

 prender quindi la tavola dei P in un'altra di numeri Q, costruita così: 

 « nella prima verticale e nella prima orizzontale tutti 1 : poi. se a e b son 

 due numeri consecutivi d' un' orizzontale, scrivo, sotto b , il numero a-\-h » . 



Si avrà che P^ = Qi,+i • se così indico il Q che è 

 h all'incrocicchio della verticale d'indice h con l'orizzon- 

 tàle d' indice 2n -j- 1 • 



4. Ma questa tavola dei Q si ottiene dal triangolo 

 aritmetico, sostituendo a ogni numero di esso, compresi 

 gli zeri, la somma del numero che si considera con 

 tutti i precedenti nella stessa orizzontale. Sicché Qf n+1 , 

 e quindi anche P» , 



cioè alla somma dei primi h -\- 1 coefficienti dello svi- 

 luppo di (1 -f- a;) 2 " +1 , per la quale, dice il Lucas, a pag. 62 del libro citato, 

 « il n'existe pas de formule simple » . 



5. Ed ecco dunque una semplicissima espressione per i coefficienti 

 Per n = 1 , 2 , 8 , ... : 



(% + >«- 



-[ . +(' 2 "^)]x ( »-ir-..-. 

 + [ ' + ' + ( 2 % +1 )] 



Q 







1 



2 



3 







1 



1 



1 



1 



ì 



1 



2 



2 



2 



2 



1 



3 



4 



4 



3 



1 



4 



7 



8 



4 



1 



5 



11 



15 



5 



1 



6 



16 



26 



6 



1 



7 



22 



42 



7 



1 



8 



29 



64 



X(n-2) 2 "- 1 



(1) 



