- 85 - 



MEMORIE E NOTE PRESENTATE DA SOCI 



Matematica. — Sopra un'equazione funzionale. Nota III di 

 Pia Nalli, presentata dal Corrisp. G. Bagnerà 0). 



1. Siano f(x) e g(x) due funzioni continue nell'intervallo (0,«), «una 

 costante positiva minore di 1, N(a:,s) una funzione continua nel triangolo 

 < x < a , Q<s<.a; , P(x , s) una funzione continua nel triangolo 

 <£ < fl , < s < «.x . 



Faremo vedere che se |</(0)|<1, l'equazione 



N(x,s)u{s)ds-+- P(o!,s)u(s)ds+f(x) 



^0 



ammette una ed una sola soluzione finita e continua in (0 , a) . 



Si determini un intervallo (0 , &)(&<. a) tale che [in esso sia 

 \g(x)\ <*<1. 



Ponendo 



= sr(a?) M + C N(x , s) (s) ds + 



+ ?{x,s)f n ^(s)ds (n = l,2,...)- 



co 



faremo vedere che Za serie V f n (j;) converge uniformemente in (0 , &) e rap- 

 aci 



presenta quindi in questo intervallo una soluzione della (1). 



Trovata tale soluzione, nel secondo membro della (1) esprimiamo la 

 u(ax) e la u(s) del secondo integrale per mezzo della serie trovata, e fac- 

 ciamo poi variare x ira e - . Allora, nella nostra equazione la somma 



del primo, del terzo *e del quarto termine del secondo membro diventa una 

 funzione nota e l'equazione si riduce ad una di Volterra di seconda specie 



che risoluta ci dà la u(x) nell'intervallo e d essa nell'intervallo 



(0 , b) coincide con quella già trovata, cioè con la somma delle f n (x) . 



Procedendo analogamente, dopo avere calcolata la u(x) in ^0 , la 



si può calcolare in ^0,^ e così via, si arriva a calcolarla in (0,a). Ci 



(*) Presentata nella seduta del 6 marzo 1921. 



